Areas and volumes : from Eudoxo and Arquimedes from Cavalieri and differential and integral calculus

O cálculo de áreas e volumes foi um tema que desafiou os matemáticos desde os primeiros registros encontrados. Desde as formas rudimentares e práticas sem embasamento teóricos dos babilônicos e egípcios até o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, inúmeros matemáticos contribuíram para o desenvolvimento e formalização dos conceitos e maneiras de cálculo de áreas e volumes. Neste trabalho apresentaremos conceitos formais e também aspectos históricos no desenvolvimento do cálculo de áreas e volumes, através das contribuições dos matemáticos ao longo da história da Matemática. Em especial, analisaremos os trabalhos de Cavalieri, que utilizou a ideia dos indivisíveis, ampliando conceitos utilizados pelo método da exaustão e Pappus, que contribuiu formalizando o cálculo de áreas e volumes dos sólidos de revolução através do centro de gravidade. Também destacamos a contribuição das ideias de Newton e Leibniz no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, que permitiu significativo avanço no cálculo de áreas e volumes. Finalizamos este trabalho com algumas aplicações didáticas, visando um melhor entendimento dos alunos sobre este tema.The volume and area calculation were a theme that challenged mathematicians since the first registers that they found out. From rudimental shapes and practices without theoretical support of Babylonians and Egyptians until Differential and Integral Calculus development, a vast number of mathematicians contributed for development and systematization of concepts and forms of areas and volume calculation. In this paper has as an objective to show formal concepts and historical aspects about area and volume calculation through mathematicians' contributions over the Mathematic history. Particularly, it will be analyzed Cavalieri' projects who used the indivisible idea. He extended concepts that used exhaustion method and Pappus that contributed about formalization of area and volume calculation of solids of revolution through gravity center. Other aspect pointed in this paper are the contributions of Newton and Leibniz about Differential and Integral Calculus development that to make possible a meaningful advance about area and volume calculation. To finish this paper, some didactic applications it will be presented with the aim to make students have a clear understanding about the theme