Study of planar diffusion and tunneling for the Dirac equation in presence of electrostatic potentials

A interação de elétrons com barreiras de potencial é um problema bem conhecido da teoria quântica não-relativística de Schrödinger. O tratamento intrinsecamente relativístico do sistema, entretanto, por meio da teoria de Dirac, nos revela diferentes aspectos não fornecidos pela teoria precedente. Por exemplo, uma vez que a equação de Dirac contém naturalmente os graus de liberdade de spin, quatro coeficientes são necessários para descrever o processo e assim o fenômeno da inversão de spin, também chamado spin flip, surge. Com o objetivo de introduzir o formalismo teórico e a notação sobre a qual se sustenta este trabalho, o primeiro capítulo é dedicado a uma breve revisão da equação de Dirac, discutindo-se as propriedades de suas matrizes, a equação de continuidade e obtendo-se suas soluções livres. No capítulo 2 o sistema de interesse, a interação planar de partículas de Dirac com barreiras de potencial eletrostático, é apresentado e são destacados os aspectos que o diferenciam de seu equivalente não-relativístico. São definidos os potenciais escalar e eletrostático e as zonas cinemáticas estabelecidas para os casos unidimensional e bidimensional. O terceiro capítulo é reservado à obtenção dos coeficientes de reflexão e transmissão com e sem spin flip para partículas de Dirac difundindo planarmente através de uma barreira quadrada de potencial eletrostático. Este objetivo é alcançado através de dois métodos distintos de interpretações complementares: O método de degraus e o cálculo de barreira. Coeficientes não-nulos são obtidos para todos os casos, exceto para a transmissão através da barreira com inversão de spin, contrastando com o fato de que todos os degraus componentes da barreira apresentam coeficientes associados diferentes de zero. No quarto capítulo analisa-se o spin das partículas incidentes e o efeito da barreira sobre o spin das partículas refletidas. Ainda que o limite para baixas velocidades seja sempre 1/2, como esperado, em regimes relativísticos encontra-se uma dependência do valor médio deste operador com a energia e o ângulo de incidência no potencial. No quinto capítulo o formalismo de pacote de ondas é desenvolvido e a coerência dos pacotes em relação `a barreira de potencial investigada, mostrando que a probabilidade de transmissão torna-se constante conforme a largura da barreira aumenta, o que caracteriza o regime incoerente de partículas. Ao fim do capítulo são derivadas as expressões para o spin incidente, refletido e transmitido nesse formalismo. Por fim, o sexto capítulo é reservado ao estudo introdutório do valor médio de autoestados do operador de spin através do formalismo desenvolvido no capítulo anterior como primeira mostra das possibilidades de trabalhos futuros. Mostrado que se o bispinor incidente não for um autoestado do Hamiltoniano de Dirac uma dependência temporal é verificada no valor médioThe interaction of electrons with potential barriers is a well-known problem of the Schr¨odinger¿s non-relativistic quantum theory. The intrinsically relativistic treatment of the problem, however, through the Dirac¿s theory, reveals us different aspects, do not provided by the preceding theory. For instance, since the Dirac equation naturally contains the spinorial degree of freedom, four coefficients are needed in order to describe the process and so the spin flip phenomenon emerges. To introduce the theoretical formalism and the notation upon which this work is sustained, the first chapter is devoted to a short review of the Dirac equation, discussing the properties of its matrices, the continuity equation and obtaining its free solutions. Chapter 2 presents the system of interest, the planar interaction of Dirac particles with electrostatic potential barriers. It also highlights the aspects that differentiate this system from its non-relativistic analogue. The scalar and electrostatic potentials are defined and the kinematic zones established for the one-dimensional and the two-dimensional cases. The third chapter is reserved for obtaining the spin flip and spin conserving transmission and reflection coefficients for Dirac particles diffusing two-dimensionally through a square electrostatic potential barrier. This goal is achieved by means of two distinct methods of complementary interpretations: The barrier calculation and the steps calculation. Non-zero coefficients are obtained in all the cases except for the spin flip transmission, contrasting with the fact that no coefficient of the individual steps that compose the barrier is null. In the fourth chapter the incident particles¿ spin is analysed as well as the effect of the barrier on the spin of the reflected particles. As expected the low velocities limits gives us a spin value of 1/2 but in relativistic regime there is a dependence of the spin with the energy and the incidence angle into the potential. In the fifth chapter the wave packet formalism is developed and the packets¿ coherence is investigated, showing that the transmission probability becomes constant as the barrier width becomes greater, characterizing the incoherence of the particle limit. At the end of the chapter the expressions for the incident, reflected and transmitted spin in the new formalism are derived. Finally, the sixth chapter is reserved to the introductory study of mean values of the spin operator eigenstates through the formalism developed in the previous chapter as an example of possibilities for future investigations. It is shown that if the incident bispinor is not a Dirac Hamiltonian eigenstate there is a time dependence in the expected value. Key-words: Relativistic Quantum Mechanics, potential barriers, wave-packet