Mathematic analysis to a phase-field model for the solidification process of a binary alloy

Nesta dissertação investigamos um problema de evolução do tipo campo de fase que descreve o processo de solidificação isotérmica de uma liga binária. O modelo consiste de um sistema altamente não linear de equações diferenciais parciais para o campo de fase, que é a variável que identifica as fases, e para a concentração de um dos materiais. O sistema é complementado com condições de fronteira do tipo Neumann e condições iniciais. Estudaremos duas situações: no primeiro caso o coeficiente de difusão da equação da concentração é maior ou igual a uma constante positiva e desta forma a equação é parabólica. No segundo caso, o coeficiente de difusão pode se anular, perdendo o caráter parabólico. Resultados de existência, regularidade, estabilidade e unicidade para a solução são estabelecidos para o primeiro modelo. Já no segundo caso, por ser um problema degenerado, espera-se obter menos regularidade para a solução. De fato, é obtido apenas um resultado de existência de solução fraca. Em ambos os casos é estabelecido um princípio do máximo para as soluções, o qual justifica as condições impostas sobre as não linearidades.In this dissertation we investigate an evolution problem of phase-field type describing an isothermal solidification process for a binary alloy. The model is a highly non-linear system of partial differential equations for the phase-field parameter (which identifies the phase) and the relative concentration. Neumann boundary conditions and initial conditions are added to complete the model. We study two cases: in the first case, the diffusion coefficient in the concentration equation is bounded from below by a positive constant, and then this equation is parabolic. In the second case, the diffusion coefficient can be zero; so when it vanishes the equation loses its parabolic character. Some results on existence, regularity and stability for the solution are established for the first model. In the second case, as the problem became degenerate, it is expected to obtain less regularity for the solution. Indeed, we only obtain existence of a weak solution. In both cases, a maximum principle for the solution is established, which justifies the conditions imposed to the nonlinear terms