Computational complexity and the P vs NP problem

A teoria de complexidade computacional procura estabelecer limites para a eficiência dos algoritmos, investigando a dificuldade inerente dos problemas computacionais. O problema P vs NP é uma questão central em complexidade computacional. Informalmente, ele procura determinar se, para uma classe importante de problemas computacionais, a busca exaustiva por soluções é essencialmente a melhor alternativa algorítmica possível. Esta dissertação oferece tanto uma introdução clássica ao tema, quanto uma exposição a diversos teoremas mais avançados, resultados recentes e problemas em aberto. Em particular, o método da diagonalização é discutido em profundidade. Os principais resultados obtidos por diagonalização são os teoremas de hierarquia de tempo e de espaço (Hartmanis e Stearns [54, 104]). Apresentamos uma generalização desses resultados, obtendo como corolários os teoremas clássicos provados por Hartmanis e Stearns. Essa é a primeira vez que uma prova unificada desses resultados aparece na literaturaComputational complexity theory is the field of theoretical computer science that aims to establish limits on the efficiency of algorithms. The main open question in computational complexity is the P vs NP problem. Intuitively, it states that, for several important computational problems, there is no algorithm that performs better than a trivial exhaustive search. We present here an introduction to the subject, followed by more recent and advanced results. In particular, the diagonalization method is discussed in detail. Although it is a classical technique in computational complexity, it is the only method that was able to separate strong complexity classes so far. Some of the most important results in computational complexity theory have been proven by diagonalization. In particular, Hartmanis and Stearns [54, 104] proved that, given more resources, one can solve more computational problems. These results are known as hierarchy theorems. We present a generalization of the deterministic hierarchy theorems, recovering the classical results proved by Hartmanis and Stearns as corollaries. This is the first time that such unified treatment is presented in the literatur