Arithmetic division problem-solving and representation : a study of procedures used by students in elementary school

O objetivo desta pesquisa foi verificar como as crianças de 4º e 5º anos representam graficamente procedimentos de solução de problemas aritméticos de divisão por quotas. Fundamentado na teoria de Jean Piaget, este estudo descreve o processo de construção da operação aritmética de divisão e foi realizado com vinte alunos matriculados no Ensino Fundamental I de uma escola privada, localizada no interior do estado de São Paulo. Participaram dez alunos do 4º ano e dez do 5º, com idade entre 9 e 11 anos. Para verificar as representações dos estudantes, aplicaram-se provas aritméticas de divisão, compostas de seis problemas de divisão por quotas no total, distribuídos em duas sessões: a Prova de Multiplicação e Divisão Aritmética, cuja meta foi avaliar o nível da psicogênese da noção de multiplicação e de divisão dos estudantes, e a Entrevista, cuja meta foi verificar a explicação dos educandos aos procedimentos de solução empregados, bem como a noção de divisão construída. Do ponto de vista da psicogênese da noção do operador multiplicativo, os estudantes incluíram-se nas condutas III, IV, ou em transição entre as condutas III e IV, revelando estarem bem desenvolvidos nessa noção; porém verificou-se que somente 4 dos 20 estudantes, em ambos os anos de escolaridade, estavam de posse do operador multiplicativo; por outro lado, apesar de não apresentarem tal noção construída, a maioria deles demonstrou conhecer as técnicas convencionais de solução de problemas. Os resultados revelaram o emprego de uma diversidade de procedimentos de solução de problemas, que variou do desenho (forma mais elementar de representação) até o algoritmo canônico da divisão (forma mais avançada, do ponto de vista da convenção). A análise qualitativo-quantitativa do estudo mostrou uma variação dos procedimentos de solução em ambos os anos de escolaridade; evidenciou também a inexistência de uma relação necessária entre a complexidade do procedimento de solução e o ano de escolaridade, uma vez que procedimentos mais avançados foram encontrados entre estudantes do 4º ano, assim como procedimentos mais elementares, entre estudantes do 5º ano.The goal of this research was to verify how four and five-year-old children graphically represents the procedures of arithmetic quota division problem-solving. Based on the theory by Jean Piaget, this work was accomplished with twenty students enrolled in Elementary School in a private school located in the countryside of São Paulo state. Ten students of 4th grade and 10 students of 5th grade took part in the study, from nine to eleven years old. To verify the students representation, it was applied arithmetic division tests, consisted of six problems of quota division, distributed into two sessions: the Multiplication and Arithmetic Division Test, which goal was to evaluate the level of psychogenesis multiplication and division of students, and the Interview, which goal was to verify the students explanation for the solving procedures applied, as well as the division idea that was built. From the standpoint of the conception of the multiplicative operator psychogenesis, the students were included in the conducts III, IV or in transition between conducts III and IV, or in transition between conducts III and IV, revealing to be well developed in this conception; yet, it was found that only four of the twenty students, in both School grades, possessed the multiplicative operator; however, in despite of they did not reveal this idea built, most of them proved to know the conventional techniques of problem-solving. The results revealed a diversification in the use of the procedures for problem-solving, which alternated from the drawing (most elementary form of representation) to the canonical division algorithm (advanced way, from the convention point of view). The qualitative / quantitative study showed a variation of the solving procedures in both School grades; it also became evident the inexistence of a necessary relationship between the complexity of the solving procedure and the School grade, once the advanced procedures were found among students from 4th grade, as well as more elementary procedures, among students from 5th grade