Dilute Bose gas weakly confined

Esta dissertação tem como objetivo apresentar um estudo crítico dos condensados atômicos de Bose-Einstein (BEC). Tomando como ponto de partida a física do gás livre, estudamos o efeito de potenciais fracamente confinantes. Dois casos foram estudados em detalhe: i) um gás atômico em um poço de potencial quadrado finito com poucos estados ligados; e ii) um sistema confinado em duas dimensões por um potencial oscilador harmônico isotrópico, sendo fracamente confinado na terceira dimensão. Para o primeiro exemplo, estudamos as propriedades termodinâmicas, comparândo-as com a transição de fase do gás livre, Interações entre bósons são introduzidas segundo a teoria de Bogoliubov para tratar interações elásticas de dois corpos. Dentro da aproximação de campo médio, as propriedades do condensado são descritas por uma função de onda macroscópica, que satisfaz a equação de Gross-Pitaevskii (GP). Analisamos os efeitos de comprimentos de espalhamento de onda 5, atrativos e negativos, para BEC aprisionados no poço de potencial finito, onde o sistema suporta excitações quânticas coerentes não-lineares. Soluções numéricas, para a equação GP independente do tempo, foram encontradas para a função de onda do estado condensado a temperatura zero, bem como para as suas excitações elementares não lineares. Para analisar os resultados, usamos valores realistas de parâmetros para os gases atômicos atualmente estudados experimentalmente. Para o segundo caso mencionado acima, desenvolvemos um programa destinado ao estudo de não-linearidades mais gerais. A física não é restrita só ao BEC, alguns sistemas de interesse são modelados por famílias de equações de Schrõdinger não-lineares, sendo a equação GP um caso particular. Para um potencial harmônico, apesar da não-linearidade, uma vez que uma solução é conhecida, muitas outras soluções podem ser construídas por uma translação espacial do centro do pacote de onda. O método é testado analiticamente no limite da equação de Schrõdinger linear com um potencial de oscilador harmônico em duas dimensões. As soluções são obtidas através de uma superposição de soluções estacionárias construídas por deslocamentos espaciais de uma solução exata. O método pode ser estendido para o regime de não-linearidades fracas, e tem uma aplicação direta na geração de estados vórtice em BECA critical study of atomic Bose-Einstein condensates (BECs) is presented. Taking as a starting point the physics of the free gas, we study the effect of weakly confining potentials. Two cases were studied in detail: i) an atomic gas in a finite square well potential with a few bound states; and ii) a system confined in two-dimensions by an isotropic harmonic oscillator potential, while being weakly confined in the third dimension. For the first example, we study the thermodynamic properties, comparing with the phase transition of the free gas. Interactions between bosons are introduced following Bogoliubov' s approach to treat two-body elastic interactions. Within the mean field approximation, the properties of the condensate are described by a macroscopic wave function, which satisfies the Gross-Pitaevskii equation (GPE). We analyze the effects of both, positive and negative s-wave scattering lengths for BEC trapped in a finite well, where the system supports quantum nonlinear coherent excitations. Numerical solutions for the time-independent GPE have been found for the condensate wave function at zero temperature, as well as for its nonlinear elementary excitations. To analyze the results, we use realistic values of pararneters for atomic gases currently been studied experimentally. For the second case mentioned above, we develop a program aimed at the study of more general nonlinearities. The physics is not restricted only to BEC, and the systems of interest are modeled by families of non-linear Schödinger equations, being the GPE a particular case. For the harmonic potential, in spite of the nonlinearities, once a solution is known, many other solutions can be constructed by spatial translations of the center of the wave packet. The method is probed analytically in the limit of the linear Schödinger. equation with a harmonic oscillator potential in two dimensions. Solutions are obtained through a superposition of stationary solutions built fIam spatial displacements of an exact solution. The method can be extended to the regime of weak nonlinearities, and has a direct application in generating vortex states in BE