Identification of nonlinear systems using volterra models based on Kautz functions and generalized orthonormal functions

Este trabalho enfoca a modelagem de sistemas não-lineares usando modelos de Volterra com funções de base ortonormal (Orthonormal Basis Functions - OBF). Os modelos de Volterra representam uma generalização do modelo de resposta ao impulso para a descrição de sistemas não-lineares e, em geral, exigem um elevado número de termos para representar os kernels de Volterra. Esta desvantagem pode ser superada representando-se os kernels usando um conjunto de funções ortonormais. O modelo resultante, conhecido como modelo OBF-Volterra, pode ser truncado em um n´umero menor de termos se as funções da base forem projetadas adequadamente. O problema central é como selecionar os polos livres que completamente parametrizam estas funções, particularmente as funções de Kautz e as funções ortonormais generalizadas (Generalized Orthonormal Basis Functions - GOBF). Uma das abordagens adotadas para resolver este problema envolve a minimização de um limitante superior para o erro resultante do truncamento da expansao do kernel. Cada kernel multidimensional é decomposto em um conjunto de bases de Kautz independentes, em que cada base é parametrizada por um par individual de pólos complexos conjugados com a intenção de representar a dinamica dominante do kernel ao longo de uma dimensão particular. Obtem-se uma solução analítica para um dos parâmetros de Kautz, válida para modelos de Volterra de qualquer ordem. Outra abordagem envolve a otimização numerica das bases de funções ortonormais usadas para a aproximação de sistemas dinamicos. Esta estrategia e baseada no cálculo de expressões analíticas para os gradientes da sa?da dos filtros ortonormais com relação aos pólos da base. Estes gradientes fornecem direções de busca exatas para otimizar os pólos de uma dada base ortonormal. As direções de busca, por sua vez, podem ser usadas como parte de um procedimento de otimização para obter o mínimo de uma função de custo que leva em consideração o erro de estimação da saída do sistema. As expressões relativas à base de Kautz e à base GOBF são obtidas. A metodologia proposta conta somente com dados entrada-sa´?da medidos do sistema a ser modelado, isto é, não se exige nenhuma informação prévia sobre os kernels de Volterra. Exemplos de simulação ilustram a aplicação desta abordagem para a modelagem de sistemas lineares e não-lineares, incluindo um sistema real de levitação magnética com comportamento oscilatorio. Por ultimo, estuda-se a representação de sistemas dinâmicos incertos baseada em modelos com incerteza estruturada. A incerteza de um conjunto de kernels de Volterra e mapeada em intervalos de pertinência que definem os coeficientes da expansão ortonormal. Condições adicionais são propostas para garantir que todos os kernels do processo sejam representados pelo modelo, o que permite estimar os limites das incertezasThis work is concerned with the modeling of nonlinear systems using Volterra models with orthonormal basis functions (OBF). Volterra models represent a generalization of the impulse response model for the description of nonlinear systems and, in general, require a large number of terms for representing the Volterra kernels. Such a drawback can be overcome by representing the kernels using a set of orthonormal functions. The resulting model, so-called OBF-Volterra model, can be truncated into fewer terms if the basis functions are properly designed. The underlying problem is how to select the free-design poles that fully parameterize these functions, particularly the two-parameter Kautz functions and the Generalized Orthonormal Basis Functions (GOBF). One of the approaches adopted to solve this problem involves minimizing an upper bound for the error resulting from the truncation of the kernel expansion. Each multidimensional kernel is decomposed into a set of independent Kautz bases, in which every basis is parameterized by an individual pair of complex conjugate poles intended to represent the dominant dynamic of the kernel along a particular dimension. An analytical solution for one of the Kautz parameters, valid for Volterra models of any order, is derived. Other approach involves the numerical optimization of orthonormal bases of functions used for approximation of dynamic systems. This strategy is based on the computation of analytical expressions for the gradients of the output of the orthonormal filters with respect to the basis poles. These gradients provide exact search directions for optimizing the poles of a given orthonormal basis. Such search directions can, in turn, be used as part of an optimization procedure to locate the minimum of a cost-function that takes into consideration the error of estimation of the system output. The expressions relative to the Kautz basis and to the GOBF are addressed. The proposed methodology relies solely on input-output data measured from the system to be modeled, i.e., no previous information about the Volterra kernels is required. Simulation examples illustrate the application of this approach to the modeling of linear and nonlinear systems, including a real magnetic levitation system with oscillatory behavior. At last, the representation of uncertain systems based on models having structured uncertainty is studied. The uncertainty of a set of Volterra kernels is mapped on to intervals defining the coefficients of the orthonormal expansion. Additional conditions are proposed to guarantee that all the process kernels to be represented by the model, which allows estimating the uncertainty bound