Trajectories on the earth's surfaces : a study of the geometry of the sphere in cartographical maps

Este trabalho buscou explorar os conceitos e propriedades da geometria da esfera no espaço usual e as projeções cartográficas cilíndricas, em especial, a de Mercator e a eqüidistante meridiana. Dentre os vários conceitos e aspectos históricos abordados no trabalho, destacamos o estudo comparativo entre duas maneiras de caminhar sobre o globo terrestre, uma pela geodésica (curva de menor distância entre dois pontos) e a outra pela loxodromia (curva que mantém o ângulo constante com os meridianos e que teve grande importância nas navegações marítimas e aéreas). Discutimos as deformações que ocorrem nas projeções do globo no plano, o que nos possibilitou estabelecer um comparativo entre o trajeto loxodrômico, que se projeta no mapa de Mercator como uma reta com a curva geodésica entre dois pontos. As representações das projeções apresentadas no trabalho foram implementadas num programa computacional de cálculo simbólico e de visualização. O texto contempla várias possibilidades de abordagem para os cursos de graduação em Matemática e áreas afins, em particular, nas disciplinas de Geometria Analítica e Cálculo, pois estabelece uma conexão entre a Geometria e a Geografia por meio de um instigante exemplo de como a Matemática pode ajudar na compreensão do espaço em que vivemosConcepts and properties of the sphere geometry are explored here in connection with cylindrical cartographic projections, specially the Mercator and the equidistant meridian projections. The approach include some of the historical aspects of the development of maps and the focus is on the comparison between two paths connecting two different locations on the Earth: the geodesic (shortest path) and the loxodrome which meets any meridian at constant angle and has been so important for navigation. We discuss the projection distortions from the globe to the plane maps. Expressions for the projections and parametrizations and 2D and 3D plottings were developed within the framework of a symbolic calculus and visualization computer system. The content explored here may disclosure several possibilities of approaching this subject in exercises and student research projects for standard Analytical Geometry and Calculus courses as one more example of how mathematics provide us with tools for understanding the world we liv