About the existence of finite SAGBI bases for the kernel of a k-derivation in k[x1,...,xn]

O objetivo geral desse trabalho é entender a teoria das bases SAGBI num ponto de vista estrutural, buscando critérios para sua existência e resultados que comprovem sua eficácia para o estudo de certas k-subalgebras de k[x], bem como estudar a teoria geral das derivações sobre anéis de polinômios, suas localizações e quocientes, visando explorar as propriedades algébricas do núcleo destas derivações e as estruturas das k-subalgebras de k[x] que podem ser vistas como tais núcleos. O objetivo específico é estudar a teoria algébrico-geométrica para k-derivações em k[x], desenvolvida por Shigeru Kuroda, e utilizar dessa teoria para estabelecer uma condição para que o núcleo de uma tal derivação seja uma k-subalgebra finitamente gerada e outra para que este possua uma base SAGBI finita. Em cada momento ao longo do trabalho também é desejado enfatizar o comportamento das k-derivações que são localmente nilpotentes e obter uma forma algorítmica para determinar os geradores de seus núcleos, no caso particular da derivação ao possuir uma slice.The general objective of this work is to understand the SAGBI bases theory from a structural point of view, seeking criterias for it’s existence and results that prove it’s effitiency in the study of certain subalgebras of k[x], as well as to study the general theory of derivations over polynomial rings, it’s localizations and quotients, in order to explore the algebraic properties of the kernel of this derivations and the structures of the k-subalgebras of k[x] that may be seen as such kernels. The specific objective is to study the algebraic-geometric theory of k-derivations in k[x], developed by Shigeru Kuroda, and to use this theory to stabilish a condition for the kernel of one such derivation to be a finitely generated k-subalgebra and another condition for this derivation to have finite SAGBI base. Along this work we also want to emphasize the behavior of locally nilpotent k-derivations and to obtain an algorithmic way to determine the generators of it’s kernels, in the particular case that the derivation has a slice