Relaxed equations for nonhomogeneous, ideal hydrodynamics

Neste trabalho deduzimos um novo sistema de equações diferenciais parciais para descrever fluxos incompressíveis de fluidos ideais não homogêneos. Chamamos este sistema de equações diferenciais parciais de equações de Euler relaxadas. Mostramos existência de solução fraca para o novo modelo e mostramos consistência com o modelo clássico dado pelas equações de Euler incompressíveis não homogêneas. Mostramos que uma solução suave das equações de Euler dá origem a uma solução para o sistema de equações relaxadas. Além disso, se o tempo T for suficientemente pequeno, então esta solução é o único mínimo da ação associada. Aqui, "suficientemente pequeno" significa satisfazer o que é conhecido como critério de Amold. Mostramos também que, se uma solução para o sistema de equações relaxadas tiver estrutura adequada, então ela dá origem a uma solução fraca para as equações de EulerIn this work we deduce a new system of partial differential equations to describe incompressible flows of nonhomogeneous ideal fluids. We call this system "relaxed Euler equations". We show existence of weak solutions for the new model and consistency with the classical model given by the nonhomogeneous incompressible Euler equations. We show that a smooth solution of the Euler equations gives rise to a solution of the relaxed equations. Moreover, if the time T is sufficiently small, then this solution is the unique minimum for the associated action. Here, "sufficiently small" means to satisfy what is known as the Arnold criterion. We show also that, if a solution of the relaxed equations has an appropriate structure then it gives rise to a weak solution of the Euler equation