Homotopia de semigrupos

Seja G um grupo de Lie semi-simples não campacto, sabemos que através da decomposição de Iwasawa de G, G = KAN, a topologia de G é reduzida à K, em particular os grupos de homotopia de G e de K são isomorfoso Já no caso de semigrupos, não existem boas decomposições que forneçam um espaço compacto o qual é um retrato de deformação de S o Ao invés disso, usamos a ação de S no espaço homogêneo G / AN o Num dos principais resultados, mostramos que os grupos de homotopia de S são isomorfos aos grupos de homotopia do conjunto de controle invariante para S em G/ANo Para se ter uma idéia do que foi feito, consideremos P(S) o subgrupo parabólico de G tal que S é do tipo P(S)o Temos que os conjuntos de controle invariantes para S na variedade fiag maximal G/MAN é dado por 7r-1(Cp(S»), onde 7r é a projeção canônica sobre G / P( S), e C P(S) é o conjunto de controle invariante em G/P(S)o No caso especial onde S é gerado por semigrupos a um parâmetro, Cp(S) é contrátil. Assim, tomando a imagem inversa novamente, 7r-1(Cp(S»)' pela fibração canônica G/AN -t G/MAN, segue que qualquer conjunto de controle invariante C C G/AN contrai para a componente conexa de P(S)/ANo Essa componente conexa é difeomorfa ao subgrupo compacto K(S) de Ko. A partir desse resultado, surgem consequências interessantes como o estudo do tipo de homotopia de conjuntos de controle invariantes em G /~, onde os subgrupos parabólicos ~ :> MAN não são o tipo de S, e ainda mais, estabelecemos o retrato de deformação do CW-complexo intS e do semigrupo S, os grupos de homotopia relativos, o tipo homotópico do semigrupo inverso, o tipo homotópico de algumas órbitas pelo semigrupo, mostramos que semigrupos de mesmo tipo tem os mesmos grupos de homotopia e calculamos o tipo de homotopia de alguns semigrupos importantesLet G be a noncompact semi-simple Lie group. Making use of Iwasawa decomposition of G: G = K AN, we can reduce the topology of G to the compact part of this decomposition, K. But if consider S C G aLie semigroup with nonempty interior, we do not have a similar decomposition. 80 in order to study the homotopy groups 1rn(S), n 2: 1, of S, that is, to generalize this well known fact, we apply an important concept ofthe control theory for semigroups, the invariant control set for S. We prove that the homotopy type of S is a compact subgroup of K. From this result we get interesting consequences about the topology of semigroups and their orbits. The main subject of the present thesis can be described as follows. (1) Describe homotopy type of the above semigroup. Unlike to Lie groups, it is not available good decompositions, providing a natural compact space which is a deformation retract of S. Instead we get the topology of S from its action in compact homogeneous spaces of G, making use of invariant control sets. In order to study this, some preliminary results were derived, concerning, for instance, reversibility of semigroups, contractibility of invariant control sets and other orbits, the parabolic type of a semigroup, free group of G on S,and so ono (2)8tudy this theory in some important semigroups, as semigroup of positive matrices, semigroup of totally positive matrices, Ol'shanskii semigroups and semigroups of rank one groups o In the main part of this work, we consider G a semi-simple Lie group and S a semigroup of G with nonempty interior and admiting a exp-generated semigroup