Set-valued functions

Estudamos um tipo especial de função denominada função ponto a conjunto, que associa a cada elemento de um espaço métrico um único subconjunto não vazio de outro espaço métrico. A noção de continuidade das funções usuais caracterizada por propriedades equivalentes, enun-ciadas em termos de vizinhanças ou em termos de seqüências, deram origem a versões corres-pondentes para as funções ponto a conjunto. As propriedades adaptadas, não mais equivalentes, são conhecidas como semicontinuidade superior e semicontinuidade inferior, respectivamente. Uma condição do tipo Lipschitz e um tipo de continuidade propriamente, obtido munindo-se o contradomínio da métrica de Hausdorff, foram relacionados à semicontinuidade. Algumas propriedades algébricas ou topológicas dos conjuntos imagem foram essenciais para os resulta-dos obtidos. Abordamos adaptações de alguns resultados clássicos da análise funcional como os teoremas da limitação uniforme, da aplicação aberta e do gráfico fechado para as funções ponto a conjunto caracterizadas como processos convexos, que são os análogos dos operadores lineares. Estabelecemos também uma versão do teorema de Schauder sobre pontos fixos para funções ponto a conjunto e também para as do tipo contraçãoWe study a mapping called a set-valued map which associates with each point of a metric space a non empty subset of another metric space. In the case of single-valued maps, contin-uous functions are characterized by two equivalent properties: one in terms of neighborhood and other in terms of sequences. These two properties can be adapted to the case of set-valued maps, are no longer equivalent and are called upper semi continuity and lower semi continuity, respectively. We adapt to the set-valued case the concept of Lipschitz applications and also a type of continuity when the range is enjoyed with the Hausdorff metric. We related them with the conditions of semi continuity. Some of the results depends on algebraic or topological prop-erties of the images. We adapt to closed convex process the principIe of uniform boundedness, the Banach open mapping and closed graph theorems. The closed convex processes are the set-valued analogues of continuous linear operators. We also establish two fixed point result for set-valued maps: the first generalizes the Schauder fixed point theorem and the second considers that of contraction typ