Teorias de espaço-tempo e leis de conservação

O objetivo deste trabalho é o estudo das leis de conservação nas teorias de espaço-tempo clássicas, que essencialmente constituem-se da física de Galileu e Newton e da física de Lorentz e Einstein. No decorrer do primeiro capítulo é desenvolvido o formalismo matemático com o qual os problemas da lei de conservação é tratado nos capítulos subsequente. Muito provavelmente o material aí contido seja excessivo se comparado ao que efetivamente utilizamos posteriormente. Entretanto, tem-se nele uma síntese de quase tudo que foi estudado de matemática durante o curso de mestrado e julgamos ser de interesse deixar isto registrado aqui. Dedicamo-nos no segundo capítulo a estabelecer a estrutura do universo segundo a teoria de Newton e Einstein, mas mais voltados para a física newtoniana cujo a formulação como uma teoria do espaço-tempo é menos conhecida. Aliás, gostaríamos de ter discutido ainda mais profundamente a física newtoniana, principalmente no que concerne a recuperação do formalismo original de Newton e Leibniz (a física newtoniana no triespaço) e à formalização da dinâmica lagrangeana. Isto infelizmente não foi possível, (estranhamente...) devido à falta de tempo e espaço e mesmo porque isto nos desviaria da nossa meta. Assim, o que foi desenvolvido sobre estes temas é apenas o essencial e esperamos futuramente ter a oportunidade de estuda-los mais pormenorizadamente. As leis de conservação são o objeto de terceiro capítulo, onde se demonstra o teorema de Noether que como é bem conhecido unifica os princípios de conservação que se tem nas teorias da física. Note que são dadas neste capítulo duas provas do teorema, o que se justifica na medida em que elas servem a propósitos diversos. A primeira prova tem o objetivo de estabelecer o resultado interessante de que não é verdade (como habitualmente se afirma) que a entidade matemática subjacente ao conceito de simetria de um conceito dinâmico seja o conceito de grupo, já que é possível ter-se conjuntos mais gerais (não necessariamente grupos) para os quis o teorema de Noether continua sendo válido. Por sua vez, a segunda demonstração apresentada cumpre um duplo objetivo, pois ao mesmo tempo que fornece-nos uma maneira simples de generalizar o teorema para teorias mais gerais como a teoria de campos, por exemplo, também fornece-mos uma maneira sistemática de encontrar as leis de conservação que deverão aparecer no estudo de um dado sistema. Finalmente, nos capítulos 4 e 5 estuda-se alguns exemplos práticos da física newtoniana e da física relativística, respectivamente. Não nos preocupamos neste capítulo em fazer uma discussão completa. Preferimos "ensinar a pescar", mostrando como obter as leis de conservação em alguns casos simples. Além disto deixamos para o capítulo 5 a discussão de um aspecto interessante da lei da conservação de energia, mostrando que na teoria da relatividade, dependendo do modelo com que se esteja trabalhando, pode ser que esta "lei" não se verifique, o que quer dizer, entre outras coisas, que a certos modelos desta teoria nos quais a energia do universo não é conservadaNot informe