The teaching of calculus: difficulties of an epistemological nature

São notórias e bem evidentes as dificuldades de aprendizagem no ensino de Cálculo. Algumas tentativas de resolver, ou pelo menos, amenizar, este problema têm sido realizadas tanto no campo pedagógico quanto no âmbito da pesquisa. Muitas dessas ações, inseridas no próprio contexto do ensino superior de Cálculo, partem do pressuposto que essas dificuldades de aprendizagem são de natureza psicológica, internas ao sujeito aprendiz. No entanto, contrariando esta tendência, esta pesquisa pretende mostrar que parte significativa dos problemas de aprendizagem do atual ensino de Cálculo é de natureza essencialmente epistemológica, está além dos métodos e das técnicas de ensino, sendo inclusive anterior ao seu próprio tempo de realização. Diante disto, foram imaginadas duas ações inter-relacionadas, dois mapeamentos que visam ao levantamento e entendimento dessas dificuldades de natureza epistemológica no ensino de Cálculo: um mapeamento conceitual do Cálculo e de suas idéias e procedimentos básicos; em seguida, munido desses elementos, realizou-se efetivamente o mapeamento das dificuldades supracitadas. Assim, a partir do entrelaçamento dos fatos históricos e pedagógicos, e tendo como pano de fundo as dualidades essenciais e os mapas conceituais do Cálculo, foram explicitados e consubstanciados cinco macro-espaços de dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica, cinco eixos que estruturam o ensino de Cálculo, a saber: o eixo discreto/contínuo; o eixo variabilidade/permanência; o eixo finito/infinito; o eixo local/global; e o eixo sistematização/construção. Nesse esforço filosófico, foram estabelecidas relações entre os macro-espaços determinados com os mapas históricos e conceituais do Cálculo, e destes com o ensino de matemática em todos os níveis. Então, pôde-se perceber, em essência, um único lugar-matriz das dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo: o da omissão/evitação das idéias básicas e dos problemas construtores do Cálculo no ensino de Matemática em sentido amplo. Isto posto, para romper com o isolamento semântico, a subestimação da relevância das idéias e dos instrumentos característicos do Cálculo, propõem-se algumas intervenções didáticas relativas ao ensino básico de Matemática e ao ensino do próprio Cálculo. O que se pretende com isso é possibilitar ao Cálculo exercer no campo pedagógico a mesma função integradora que ele realizou no âmbito científico, no processo de construção do conhecimento matemático.The difficulties in learning Calculus are noticeable and quite evident. Some attempts to solve, or at least, soften, this problem have been made both in the pedagogical field and in the scope of the research. Many of these actions, within the context of a higher teaching of Calculus itself, assume that such difficulties in learning are of a psychological nature, internal to the learner. However, contrary to this tendency, this research intends to show that a significant part of the problems of learning the current teaching of Calculus is of a nature essentially epistemological, it is beyond the methods and the techniques of teaching, being also prior to its own time of realization. With that in mind, there were imagined two actions interrelated, two mappings which aim the rising and understanding of these difficulties of an epistemological nature in the teaching of Calculus: a conceptual mapping of Calculus and of its ideas and basic procedures; next, having these instruments, the mapping of the previously mentioned difficulties was effectively done. Thus, from the interlacement of the historical and pedagogical facts, and having as background the essential dualities and the conceptual maps of Calculus, there were clarified and consubstantiated five macro spaces of the difficulties in learning of an epistemological nature, five axes which structure the teaching of Calculus, namely: the axis discreet/continuous; the axis variability/permanence; the axis finite/infinite; the axis local/global; and the axis systematization/construction. In this philosophical endeavour there were established relations between the macro spaces determined by the historical and conceptual maps of Calculus, and from these with the teaching of mathematics in all levels. Therefore, one can notice, essentially, a single point of origin in the difficulties in the learning of an epistemological nature in the teaching of Calculus: the omission/avoidance of the basic ideas and the construction problems of Calculus in the teaching of mathematics in an ample sense. So, to break up with the semantic isolation, the underestimation of the relevance of the ideas and of the instruments characteristics of Calculus, some didactic interventions are proposed in the field of the basic teaching of Mathematics and in the teaching of Calculus itself. What is expected from this is to allow Calculus to have in the pedagogical field the same function of integration that it had in the scientific field, in the process of building the mathematical knowledge