Convex recoloring of graphs: algorithms and polyhedra

Neste trabalho, estudamos o problema a recoloração convexa de grafos, denotado por RC. Dizemos que uma coloração dos vértices de um grafo G é convexa se, para cada cor tribuída d, os vértices de G com a cor d induzem um subgrafo conexo. No problema RC, é dado um grafo G e uma coloração de seus vértices, e o objetivo é recolorir o menor número possível de vértices de G tal que a coloração resultante seja convexa. A motivação para o estudo deste problema surgiu em contexto de árvores filogenéticas. Sabe-se que este problema é NP-difícil mesmo quando G é um caminho. Mostramos que o problema RC parametrizado pelo número de mudanças de cor é W[2]-difícil mesmo se a coloração inicial usa apenas duas cores. Além disso, provamos alguns resultados sobre a inaproximabilidade deste problema. Apresentamos uma formulação inteira para a versão com pesos do problema RC em grafos arbitrários, e então a especializamos para o caso de árvores. Estudamos a estrutura facial do politopo definido como a envoltória convexa dos pontos inteiros que satisfazem as restrições da formulação proposta, apresentamos várias classes de desigualdades que definem facetas e descrevemos os correspondentes algoritmos de separação. Implementamos um algoritmo branch-and-cut para o problema RC em árvores e mostramos os resultados computacionais obtidos com uma grande quantidade de instâncias que representam árvores filogenéticas reais. Os experimentos mostram que essa abordagem pode ser usada para resolver instâncias da ordem de 1500 vértices em 40 minutos, um desempenho muito superior ao alcançado por outros algoritmos propostos na literatura.In this work we study the convex recoloring problem of graphs, denoted by CR. We say that a vertex coloring of a graph G is convex if, for each assigned color d, the vertices of G with color d induce a connected subgraph. In the CR problem, given a graph G and a coloring of its vertices, we want to find a recoloring that is convex and minimizes the number of recolored vertices. The motivation for investigating this problem has its roots in the study of phylogenetic trees. It is known that this problem is NP-hard even when G is a path. We show that the problem CR parameterized by the number of color changes is W[2]-hard even if the initial coloring uses only two colors. Moreover, we prove some inapproximation results for this problem. We also show an integer programming formulation for the weighted version of this problem on arbitrary graphs, and then specialize it for trees. We study the facial structure of the polytope defined as the convex hull of the integer points satisfying the restrictions of the proposed ILP formulation, present several classes of facet-defining inequalities and the corresponding separation algorithms. We also present a branch-and-cut algorithm that we have implemented for the special case of trees, and show the computational results obtained with a large number of instances. We considered instances which are real phylogenetic trees. The experiments show that this approach can be used to solve instances up to 1500 vertices in 40 minutes, comparing favorably to other approaches that have been proposed in the literature