Partially Umbilic Points in One-parameter Families of Hypersurfaces Immersed in R^4.

Neste trabalho, estudamos as Singularidades das folheações mutuamente ortogonais, numa variedade orientada M^3 de dimensão 3, cujas folhas são as curvas integrais dos campos de direções de curvatura principal associadas a uma imersão : M^3 R^4. Damos aqui continuidade às contribuições de R. Garcia referente ao estudo das singularidades genéricas das folheações principais. Apresentamos as configurações principais numa vizinhança dos pontos parcialmente umbílicos de codimensão 1, ou seja, as singularidades das folheações principais que aparecem genericamente em famílias a 1 parâmetro de hipersuperfícies imersas em R^4, e os diagramas de bifurcação pertinentes. Enfraquecendo a condição de genericidade, da maneira mais simples possível, encontramos oito tipos genéricos: D_1^ 1, D^1_ 2, D^1_ 3, D^1_, D^1_{1h,p}, D^1_{1h,n}, D^1_p e D^1_c , definidos ao longo do trabalho. Nesta tese consubstanciamos matematicamente a seguinte conclusão: As singularidades das folheações principais, que aparecem genericamente em famílias a 1 parâmetro de hipersuperfícies imersas em R^4, são os pontos parcialmente umbílicos D_1^ 1, D^1_ 2, D^1_ 3, D^1_, D^1_{1h,p}, D^1_{1h,n}, D^1_ e D^1_ , cujas definições e propriedades serão apresentados aqui. A parte central desta tese é estabelecer, analítica e geometricamente, a configuração principal destes pontos incluindo seus diagramas de bifurcação.In this work we study the mutually ortogonal foliations, in oriented three dimensional manifolds M^3, whose leaves are the integral curves of the principal curvature direction fields associated to immersions : M^3 R^4. We focus on behavior of these foliation around singularities. Here we extend the contributions of R. Garcia concerning the study of generic singularities. To this end we establish the principal configurations in a neighborhood of partially umbilic points of codimension one. These are the singularities which appear generically in one parameter families of hypersurfaces and give their bifurcation diagrams. We express the condition of genericity by minimally weakening those given by R. Garcia and by adding instead new higher order ones. This procedure leads to the novel generic types: D^1_1, D^1_2, D^1_3, D^1_, D^1_{1h,p}, D^1_{1h,n}, D^1_p and D^1_c , studied in this work. The central part of this thesis is to establish, analitically and geometrically, the local principal configurations at these points, including their bifurcations diagrams