Canonical quantization and functional integration in the mean spherical mode

O modelo esférico desempenha um papel importante na mecânica estatística, pois ele permite a realização de cálculos exatos para estudar o comportamento crítico. Diferentes soluções do modelo esférico têm sido usadas para estudar o comportamento crítico de uma grande variedade de sistemas (com diversos tipos de desordem, com interações competitivas, de curto e de longo alcance, ferro e antiferromagnéticas, além de muitas outras situações). As soluções desses modelos apresentam uma série de anomalias a baixas temperaturas, inclusive resultados que contradizem a terceira lei da termodinâmica. Na década de 70, foi sugerido que esse comportamento anômalo a temperaturas muito baixas seria corrigido pela introdução de flutuações quânticas, que não eram levadas em conta nas soluções clássicas. De fato, a partir da quantização do modelo esférico e possível corrigir esse comportamento. Utilizamos então dois métodos distintos de quantização - quantização canônica e representação em termos de integrais funcionais - para construir versões quânticas do modelo esférico clássico, que podem ser investigadas analiticamente. Mostramos que essas formulações quânticas conduzem aos mesmos resultados. Em particular, analisamos as propriedades termodinâmicas de um modelo esférico médio\" quântico nas seguintes situações: (i) com inteirações de longo alcance, do tipo campo médio, que deve constituir um dos sistemas mais simples exibindo uma transição de fase quântica; (ii) com interações competitivas, entre primeiros e segundos vizinhos, numa situação em que ocorre um ponto multicrítico de Lifshitz; (iii) na presença de interações de longo alcance, tipo campo médio, e de um campo aleatório com média nula; (iv) na presença de desordem de sítios, como nos modelos de van Hemmen para um vidro de spin ou de Hopfield para uma rede neural com poucos padrões. Em todos esses casos há correção do comportamento anômalo a baixas temperaturas. Obtemos diagramas de fases e estudamos em cada caso a natureza das fases ordenadas.The spherical model plays an important role in statistical mechanics, since it is amenable to exact calculations to investigate the critical behavior. Solutions of the spherical model have been used to investigate the critical behavior of a large variety os systems (with different types of disorder, with competing interactions, of short and long range, of ferro and antiferromagnetic nature, and many other situations). Solutions of these model systems display a number of anomalies at low temperatures, which include some violations of the third law of thermodynamics. In the seventies, it has been suggested that this anomalous behavior at very low temperatures would be corrected by the introduction of quantum uctuations, which were not taken into account by the classical solutions. In fact, the quantization of the spherical model leads to the correction of these effects. We then use two different methods of quantization, canonical quantization and representation in terms of functional integrals, which are still amenable to exact analytical calculations. We show that these quantum formulations lead to the same results. In particular, we analyze the thermodynamic properties of a quantum \\mean spherical model\" in the following situations: (i) with long-range, mean-field, interactions, which is perhaps the simplest model system that exhibits a quantum phase transition; (ii) with competing interactions between first and second neighbors, in which case there should be a Lifshitz multicritical point; (iii) in the presence of long-range interactions and of a random field of zero mean value; (iv) in the presence of disorder, such as the van Hemmen model for a spin glass or the Hopfield model for a neural network with just a few patterns. In all of these cases the anomalous behavior is corrected at low temperatures. We obtain a number of phase diagrams, and discuss the nature of the ordered phases