Sobre sistemas e espaços de operadores

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2013.Um sistema de operadores, em uma C*-álgebra, é um subespaço vetorial contendo a unidade da álgebra e é fechado por adjunção. Uma aplicação positiva entre sistemas de operadores leva elementos positivos em elementos positivos. Tal aplicação será dita completamente positiva se para qualquer matriz positiva, de qualquer ordem, tem-se que a matriz imagem, segundo a aplicação, for positiva. Um dos propósitos dessa dissertação será considerar uma aplicação completamente positiva, cujo contradomínio é a C*-álgebra dos operadores limitados definidos em espaço de Hilbert, e estendê-la para uma aplicação completamente positiva de mesma norma, o Teorema de Hahn-Banach não comutativo. Queremos, por fim, definir espaços *-vetoriais e enxergá-los com sistemas de operadores em uma determinada C*-álgebra. Tal resultado, atribuído aos matemáticos Choi e Effros, é o análogo da construção GNS, através da qual é possível tratar elementos de uma C*-álgebra como operadores limitados.<br>Abstract : An operator system contained in a unital C_-algebra is a vector subspace closed under addition and containing the algebra unit . A positive map of operators between systems is a linear transformation that sends positive elements in S to positive elements . This application is a completely positive map, if for every positive matrix in any order, it follows that the image matrix , according to the application is positive. In this dissertation we show, among other things, that a completely positive map can extend it to a completely positive map with the same norm as, a theorem regarded as a non-commutative Hahn-Banach Extension Theorem. We finally define * - vector spaces and see them with system operators in a given C * - algebra. This result , assigned to mathematical Choi and Effros , is the analogue of the GNS construction , through which it is possible to treat elements of a C * - algebra as bounded operators