The use of the least squares method to estimate the model parameters of a transformer

O transformador é um dos elementos críticos de um sistema elétrico de potência e, desta forma, a rede é planejada segundo critérios de confiabilidade que visam assegurar a disponibilidade deste eleme nto mesmo na hipótese de contingências. Dada a importância do transformador para o sistema, justifica-se o investimento em estudos a fim de desenvolver modelos matemáticos para melhor compreender as características do equipamento. O modelo deve possuir duas características básicas e nem sempre conciliáveis: simplicidade das funções matemáticas e acurácia dos resultados. Na verdade, deve-se considerar na formulação do modelo uma relação de compromisso, na medida em que uma maior precisão numérica implica, geralmente, em sofisticação e aumento do custo analítico da solução. A metodologia utilizada no trabalho consistiu na realização dos tradicionais ensaios em vazio e em curto-circuito do transformador para determinação dos parâmetros do circuito equivalente e da resposta em freqüência do sistema. A seguir, procurou-se obter funções de aproximação polinomiais que representassem de maneira satisfatória o comportamento dos parâmetros do modelo desenvolvido. A solução dos sistemas de equações associados foi caracterizada como um Problema de Mínimos Quadrados Linear, pois deve-se minimizar a função objetivo residual que traduz o erro entre o valor real do parâmetro e as estimativas obtidas pelas funções de aproximação. A aplicação do Método dos Mínimos Quadrados possibilitou determinar funções de estimação ótimas para os parâmetros do circuito equivalente do transformador. A análise dos resultados obtidos permite inferir que os modelos desenvolvidos constituem boas representações para o transformador, pois há pequeno erro relativo entre as medidas reais advindas dos ensaios e aquelas estimadas com o uso dos polinômios de estimação. A conclusão principal foi que os parâmetros associados às perdas Joule, ao fluxo de dispersão e ao fluxo de magnetização são adequadamente representados por funções polinomiais de terceiro grau, ao passo que as perdas no núcleo são bem representadas por funções polinomiais de segundo grau. __________________________________________________________________________________________ ABSTRACTThe transformer is one of the critical elements of an electrical power system and, therefore, the network is planned according to confidence criteria in order to ensure the avaialability of this element even under constraints. Due to the importance of the transformer to the system, the investment in studies is justified in order to develop mathematical models for better understanding the equipment characteristics. The model must have two basic characteristics that are not always easy to conciliate: simplicity of the mathematical functions and accuracy of the results. In fact, a relation must be considered in the model formulation in the sense that a larger numerical precision implies, in general, in sophistication and increase of the analitical cost of the solution. The methodology used in this work consisted in the traditional open and short-circuit tests of the transformer to determine the equivalent circuit parameters and the frequency response of the system. After that, the task was to find approximation polynomial functions that should satisfactorily represent the parameters’ behavior of the developed model. The solution of the associated equations systems was characterized as a Linear Least Squares Problem, since the residual function, which represents the error between the real value of the parameter and the estimates obtained by the approximation functions, must be minimized. The use of Least Squares Method allowed the determination of the best approximation functions for the parameters of the equivale nt circuit of the transformer. The analysis of the obtained results leads to the conclusion that the developed models do constitute good representations to the transformer because there is little relative error between the real experimental values of the tests and those estimated with the use of polynomial estimation. The major conclusion was that the parameters associated to the Joule losses and to the dispersion and magnetization fluxes are reasonably represented by third degree polynomial functions and, besides, the core losses are well represented by second degree polynomial functions