Absolutely minimizing functions

O objetivo desta dissertaÃÃo e dar uma exposiÃÃo da teoria das extensÃes Lipschitz absolutamente minimizantes, baseada no trabalho de Gunnar Aronsson, Michael G.Crandall e Petri Juutinen em [1], apresentando vÃrios detalhes em uma forma acessÃvel aos leitores sem qualquer conhecimento prÃvio do assunto. Em particular, refazemos resultados melhorados relativos a existÃncia atravÃs de argumentos que sÃo mais simples do que aqueles que podem ser encontrados na literatura. NÃs apresentamos uma prova do conhecido resultado de unicidade, o qual nÃo se baseia na teoria de soluÃÃes de viscosidade. Em nossa nossa abordagem, mostraremos que as funÃÃes absolutamente minimizantes sÃo as funÃÃes que satisfazem uma condiÃÃo geomÃtrica a qual chamaremos de gozar de comparaÃÃo com cones. Este elementar dispositivo geomÃtrico torna a teoria versÃtil e transparente. Aqui, encontraremos por exemplo, estimativas de continuidade a priori, desigualdade de Harnack, o mÃtodo de Perron para comprovar os resultados de existÃncia, questÃes de unicidade e regularidade, e algumas ferramentas bÃsicas da teoria de soluÃÃes de viscosidade. NÃs acreditamos que a nossa apresentaÃÃo fornece um resumo unificado da teoria unificada existente, assim como alguns resultados de interesse para os peritos e pesquisadores e, ao mesmo tempo, uma fonte que possa ser utilizada para introduzir estudantes a algumas significantes ferramentas analÃticas.The objective of this dissertation is to give an exposition of the theory of absolutely minimizing Lipschitz extensions, based on the work of Gunnar Aronsson, Michael G. Crandall and Petri Juutinen in [1], showing various details in a form accessible to readers without any prior knowledge of the subject. In particular, we retrace the improved results on the existence through arguments that are simpler than those that can be found in literature. We present a proof of the known uniqueness result, which is not based on the theory of viscosity solutions. In our approach we will show that the absolutely minimizing functions are the functions that satisfy a geometric condition which we will call to enjoy comparison with cones. This elementary geometric device renders the theory versatile and transparent. Here we will nd a priori continuity estimates, Harnack inequality, Perron's method for proving existence results, uniqueness and regularity questions, and some basic tools of viscosity solution theory. We believe that our presentation provides a unied sum-mary of the existing theory as well as some results of interest to experts and researchers and, at the same time, a source which can be used for introducing students to some signicant analytical tools