Desigualdades entre as mÃdias geomÃtrica e aritmÃtica e de Cauchy-Schwarz

Este trabalho trata de duas das mais importantes desigualdades da MatemÃtica: a desigualdade entre as mÃdias geomÃtrica e aritmÃtica e a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Apresentamos inicialmente diversas demonstraÃÃes para o caso n = 2, apÃs as quais seguem muitas demonstraÃÃes para o caso geral. Nessas demonstraÃÃes utilizamos Ãlgebra elementar, geometria euclidiana, construÃÃes geomÃtricas, geometria analÃtica, induÃÃo matemÃtica, convexidade de funÃÃes, multiplicadores de Lagrange entre outros assuntos. AlÃm disso foram selecionados vinte problemas que visam dar ao leitor uma melhor compreensÃo de como estas desigualdades podem ser aplicadas em diversos assuntos e de diversas formas, estimulando a criatividade dos alunos na resoluÃÃo de problemas.This paper deals with two of the most important inequalities of Mathematics: the inequality between the geometric and arithmetic and Cauchy-Schwarz. Here several first statements for the case n = 2, after which many statements following for the general case. In these statements we use algebra elementary Euclidean geometry, geometric constructions, analytical geometry, mathematical induction, convexity of functions, Lagrange multipliers among other issues. Also selected were twenty problems that aim to give the reader a better understanding of how these inequalities can be applied in various subjects and in many ways, stimulating students' creativity in problem solving