Injetividade de aplicações polinomiais via resolubilidade de campos vetoriais

Seja F : Rn → Rn uma aplicação polinomial tal que a aplicação derivada DF(x) seja invertível em cada ponto x ∈ Rn. Neste trabalho, usando técnicas de resolubilidade de certos campos de vetores, investigamos o papel do grau de F na sua injetividade. Em R2, mostramos que se o grau de uma das componentes de F é menor ou igual a 3, então F é injetora. Em Rn, discutimos a injetividade de aplicações do tipo F(x) = x + H(x), em que H : Rn → Rn é uma aplicação polinomial homogênea de grau 3 e detDF(x) = 1, ∀x ∈ Rn, propondo uma nova maneira de abordar este problema. Demonstramos que temos a injetividade quando n = 3.Let F : Rn → Rn be a polynomial map such that the derivative map DF(x) be invertible for each x ∈ Rn. In this work, using techniques of solvability of suitable vector fields, we investigate the role of the degree of F in its injectivity. In R2, we show that if the degree of one of the components of F is less or equal 3, then F is injective. In Rn, we discuss the injectivity of the maps F(x) = x + H(x), where H : Rn → Rn is a homogeneous polinomial map of degree 3 and detDF(x) = 1, ∀x ∈ Rn. Here we propose a new way to approach this problem. We show the injectivity when n = 3