The Gaussian curvature via the contact angle of immersed surfaces into the S3

Neste trabalho nos referimos ao estudo de um invariante geométrico de superfícies imersas na esfera Euclidiana 3-dimensional S3. Tal invariante, conhecido como ângulo de contato, é o complementar do ângulo entre a distribuição de contato d e o espaço tangente da superfície. Montes e Verderesi [22] caracterizaram as superfícies mínimas em S3 com ângulo de contato constante e Almeida, Brasil e Montes [4] estudaram algumas propriedades de superfícies imersas com curvatura média e ângulo de contato constantes em S3. Nosso objetivo será apresentar uma relação entre a curvatura Gaussiana, a curvatura média e o ângulo de contato de superfícies imersas na esfera Euclidiana 3-dimensional, a qual permite concluir que a superfície é plana se o ângulo de contato for constante. Além disso, concluiremos que o toro de Clifford é a única superfície compacta com curvatura média constante tendo tal propriedade.In this work we refer to the study of a geometric invariant surfaces immersed in Euclidean 3-dimensional sphere S3. Such invariant, known as angle contact, is the complementary angle between the distribution of contact d and the tangent space of the surface. Montes and Verderesi [22] characterized the minimal surfaces in S3 with constant contact angle and Almeida, Brazil and Montes [4] studied some properties of immersed constant mean curvature into a round sphere S3 with constant contact angle. The our aim of this work is to deduce a general formula involving the Gaussian curvature, the mean curvature and the contact angle of surfaces immersed in Euclidean sphere 3-dimensional, which shows that the surface is flat if the contact angle is constant. Moreover, we deduce that the Clifford tori are the unique compact surfaces with constant mean curvature having such propriety. Keyword