Survival time in a stochastic model for species evolution

Neste trabalho, vamos considerar dois modelos estocásticos para evolução de espécies. No primeiro,nascimentos e mortes ocorrem com probabilidades constantes.Cada espécie nova é associada a uma aptidão que provém de uma distribuição uniforme em [0,1].Toda vez que ocorre um evento de morte, a espécie que morre é a que tem a menor aptidão. Mostraremos que existe uma rápida transição de fase quando a probabilidade de nascimento é maior do que a probabilidade de morte. O conjunto de espécies com aptidão maior que uma aptidão crítica se aproxima de uma distribuição uniforme. Por outro lado, todas as espécies com aaptidão menor que a crítica desaparecem após um tempo aleatório finito. No segundo modelo, uma nova espécie nasce com taxaλ e morre com taxaµ.Um número aleatório,oriundo de uma distribuição dada F,é associada com cada nova espécie e é assumida como sua aptidão,no seu instante de nascimento.Da mesma maneira do primeiro modelo,toda vez que ocorre um evento de morte, a espécie que morre é a que tem a menor aptidão. Iremos considerar o tempo de sobrevivência (aleatório) de uma espécie com uma aptidão dada f. Iremos mostrar que a distribuição do tempo de sobrevivência depende crucialmente de quando f<fc , f=fc ou f>fc, onde fc é uma aptidão crítica calculada explicitamente.In this work ,we will consider two stochastic models for evolution os species. First, births and deaths of species occur with constant probabilities. Each new species is associated with a fitness sampled from the uniform distribution on [0,1]. Every time there is a death event then the type is killed is the one with smallest fitness. We show that there is a sharp phasetransitionwhentheprobabilityislargerthanthedeathprobability.Thesetofspecies with fitness higher than a certain critical value approach an uniform distribution. On the other hand all the species with fitness less than the crital disappear after a finite (random) time. The second model, we consider a stochastic model for species evolution. A new species is born at rateλ and a species dies at rate µ. A random number, sampled from a given distribution F, is associated with each new species and assumed as its fitness, at the time of birth. Likewise the first model, every time there is a death event, the species that is killed is the one with the smallest fitness. We consider the (random) survival time if a species with a given fitness f. We show that the survival time distribution depends crucially on whetherf<fc ,f=fc orf>fc where fc is a critical fitness that is computed explicit