Localized solutions in models of relativistic fields and Bose-Einstein condensates

Este trabalho reúne alguns dos resultados obtidos sobre o estudo de sólitons em modelos de campos escalares relativísticos e em condensados de Bose-Einstein. Com o uso de um formalismo de primeira ordem para a equação de movimento de campos relativísticos, introduzido anteriormente por nosso grupo, construímos várias classes de soluções do tipo lump para um único campo escalar real. Mostramos que as formas dessas soluções podem ser controladas dependendo de um único parâmetro no potencial de campo utilizado. Em matéria condensada as soluções do tipo lump correspondem a sólitons brilhantes, muito estudados no contexto de cristais não-lineares, fibras ópticas, condensados de Bose-Einstein, etc. Em todos esses casos tais soluções são obtidas através da equação não-linear de Schrodinger, responsável por descrever a propagação de pulsos, em cristais ou fibras ópticas, ou a densidade atômica, no caso de condensados. Nesse sentido, nosso objetivo principal consiste no estudo da modulação de sólitons e breathers através da equação não-linear de Schrodinger. Nossa concentração é nos condensados de Bose-Einstein nos quais a modulação da densidade atômica pode ser realizada através da ressonância de Feshbach. Estudamos casos onde a não-linearidade é descrita por termos cúbico, cúbio e quíntico e puramente quíntico na equação não-linear de Schrodinger. Investigamos também situações onde dois condensados podem interagir e as ENLS estão acopladas, modulação de breathers e o estudo da influência de ruídos caóticos, aleatórios e não-periódicos na não-linearidade do sistema para o comportamento do sóliton. Na maior parte deste trabalho consideramos o condensado aprisionado na forma de charuto, isto é, com liberdade em apenas uma dimensão espacial. Simulações numéricas foram realizadas para verificar a estabilidade das soluções.This work combines some of the results obtained on the study of solitons in relativistic fields and Bose-Einstein condensates. By using a first order formalism to solve the equations of motion of relativistic fields, introduced previously by our group, we construct several classes of lump solutions described by a single real scalar field. We show how these solutions can be controlled depending on a single parameter in the field potential. In condensed matter the solutions of the lump type correspond to bright solitons, very studied in the context of nonlinear crystals, fiber optics, Bose-Einstein condensates, etc. In all these cases, such solutions are obtained via a nonlinear Schr¨odinger equation, responsible for describing the propagation of pulses in optical fibers or crystals, or the atomic density in condensates. In this sense, our main goal is to study the soliton and breather modulations via nonlinear Schrodinger equation. We concentrate on the Bose-Einstein condensate in which the modulation of atomic density can be accomplished through the Feshbach resonance. We study cases where the nonlinearity is described by terms cubic, cubic and quintic, and purely quintic in the nonlinear Schr¨odinger equation. Also, situations where two interacting condensates in which the nonlinear Schr¨odinger equations are coupled, breather modulations, and the study of the soliton behavior under influence of chaotic, random and non-periodic perturbations in the nonlinearity of the system. In many cases we consider the condensate trapped in the cigarshaped configuration, i.e., with freedom in only one spatial dimension. Numerical simulations are performed to verify the stability of the solutions