New finite-difference central schemes applied to multiphase flows in petroleum reservoirs

Os escoamentos bifásicos incompressíveis água-óleo são modelados por um sistema de equações diferenciais parciais nas incógnitas velocidade, pressão e saturação. Neste trabalho é apresentado um novo método numérico em duas dimensões espaciais para a resolução numérica da equação de transporte de massa. Suas principais características são: eficiência computacional, boa precisão numérica e ausência de oscilações espúrias na presença de dados inicias descontínuos. O modelo matemático usado no desenvolvimento do método numérico se baseia na combinação e extensão das idéias dos esquemas centrais de Lax-Friedrichs, Rusanov, Nessyahu, Tadmor e Kurganov para duas dimensões espaciais, isto é, usa diferenças centradas, velocidade local de propagação e o algoritmo REA. O novo esquema central obtido tem precisão de segunda ordem e admite uma formulação semi-discreta, tornando a sua pequena difusão numérica independente do tamanho do passo de tempo usado para a evolução da equação diferencial. Isto garante a principal propriedade apresentada pelo novo método numérico: nenhuma difusão numérica extra é inserida se o passo de tempo for reduzido. Este comportamento é muito importante quando aplicado a problemas de escoamentos multifásicos em reservatórios de petróleo altamente heterogêneos, pois a alta heterogeneidade do meio poroso introduz uma grande variabilidade no campo de velocidades que exige, por sua vez, uma redução no passo de tempo. Sua formulação final, bastante simples, é um sistema de equações diferenciais ordinárias, na incógnita saturação, para cada célula do domínio computacional definido. Estas equações são então resolvidas pelo método de Runge-Kutta de segunda ordem na sua forma explícita. Os resultados numéricos obtidos são bastante precisos quando comparados com o esquema central totalmente discreto Nessyahu-Tadmor de segunda ordem. Estes resultados indicam que, ao usar o esquema de Nessyahu-Tadmor, torna-se necessário multiplicar por 16 o número de células da malha computacional para se obter uma solução comparável à solução apresentada pelo novo método numérico.Incompressible two-phase flows aremodeled by a non-linear system of partial differential equations involving velocity, pressure and saturation. In this work we present a new numerical method in two spatial dimensions to solve the fluid transport equation. Its main features are computational eficiency, accuracy of solutions and absense of spurious oscillations with descontinuous initial conditions. The mathematical model used to develop this numerical method combines and extends ideias from Lax-Friedrichs, Rusanov, Nessyahu, Tadmor and Kurganovs central schemes to two spatial dimensions, i.e., it uses central differences, local speed of propagation and the REA algorithm. This new central scheme has second order accuracy and allows for a semi-discrete formulation, which makes its small numerical diffusion independent of the time step size used to integrate the differential equation. This provides the main feature of this new central scheme: no extra numerical diffusion is added if one needs to reduce the time step. This behavior is very important for applications to multiphase flows in highly heterogeneous pretoleum reservoirs, since this implies a big variability of the velocity field which demands a reduction of the time step. The very simple final formulation of the scheme is a system of ordinary differential equations involving the saturation for each cell in the computational domain. These equations are solved using a explicit second-order Runge-Kutta method. The numerical results obtained are very accurate when compared with the Nessyahu-Tadmors totally discrete second-order central scheme. These results indicate that one needs tomultiply the number of computational cells in theNessyahu-Tadmors scheme by 16 in order to obtain a solution comparable to the one provided by the new method