O sombreamento de trajetórias no mapa padrão

Os cálculos numéricos envolvendo as soluções de um sistema matemático apresentam ruído em razão dos erros de truncamento e arredondamento efetuados a cada passo. Se o sistema dinâmico apresentar caos, então estes erros são amplificados. Os sistemas dinâmicos hamiltonianos podem apresentar regiões disjuntas onde há ocorrência de caos e periodicidade no mesmo espaço de fases para uma dada faixa de valores do parâmetro de controle. Em particular, o mapa padrão é um sistema hamiltoniano amplamente investigado por ser proveniente de vários sistemas físicos de interesse. Uma resposta à questão da validade das soluções numéricas é o sombreamento que garante a existência de órbitas reais próximas de órbitas ruidosas por longo tempo. Se o sistema apresentar estrutura hiperbólica, então o sombreamento é garantido inteiramente para o conjunto onde o sistema está definido. Por outro lado, a maioria dos sistemas não apresenta estrutura hiperbólica, a exemplo do que ocorre com o mapa padrão. Esta quebra de hiperbolicidade pode ocorrer de duas maneiras: pela variabilidade da dimensão instável ou por tangências entre as variedades. Este trabalho tem como objetivo estudar o problema do sombreamento e compreender as técnicas de contenção e refinamento bem como investigar as regiões onde ocorrem possíveis tangências buscando caracterizar a estrutura das órbitas periódicas instáveis no espaço de fases. De posse das órbitas periódicas instáveis é possível obter as variedades associadas e verificar regiões onde há quebra de sombreamento por tangências. Para tanto, emprega-se o método de Schmelcher- Diakonos para encontrar as órbitas periódicas. As variedades são encontradas tomando uma bola de condições iniciais na vizinhança linear dos pontos de algum período e iterando o mapa para representar aproximadamente a variedade instável e iterando a inversa do mapa para encontrar a variedade estável. Como resultado verificam-se regiões onde possivelmente ocorrem tangências e o sombreamento não pode ser efetuado.Numerical solutions of a mathematical system presents noise due to the truncation and roundoff errors. If chaos cannot ruled out then these errors are amplified. The Hamiltonian dynamical systems may present chaos and periodicity in the same phase space for a given range of values of the control parameter. In particular the standard map is a Hamiltonian system widely investigated to be derived for many physical systems of interest. An answer for question of validity of numerical solutions is the shadowing of physical trajectories that ensures the existence of real orbits that stays near of noisy trajectories for long time. If the system present hyperbolic structure, then all conditions are fulfilled and shadowing can be done for every point of the set where the system is defined. On the other hand, most of systems are nonhyperbolic like standard map. This loss of hyperbolicity can ocurr in two ways: unstable dimension variability and tangencies between manifolds. This study aims the shadowing problem and investigate regions where tangencies can ocurr caracterizing periodic orbits structure in phase space. With the knowledge of unstable periodic orbits is possible to obtain manifolds and verify regions where shadowing is broken by tangencies. For this the Schmelcher-Diakonos method is employed for found periodic orbits. The manifolds are found by taking a ball of initial conditions in linear neighborhood of points of any period and by iteration foward in time of map to represent an aproximation of unstable manifold and by reverse iteration in time to represent stable manifold. As a result we found regions were possible tangencies ocurr and shadowing cannot be done