Modèles de renouvellement avec effets de tendance, et application à l'assurance pour fautes des professionnels de la santé

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019.Dans cette thèse, nous présentons une classe très large de processus de dénombrement, incluant le processus de renouvellement et le processus de Poisson non-homogène, à laquelle s’ajouteront des taux d’escompte stochastiques afin de modéliser les coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Ainsi, dans l’introduction, nous présentons certaines caractéristiques importantes du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Au chapitre 1, nous présentons des concepts théoriques préalables à l’élaboration et l’application du modèle mathématique qui sera proposé au chapitre 4. Au chapitre 2, nous présentons des résultats liés aux processus de Poisson non-homogène composé et de Cox composé, avec escompte. En particulier, nous y présentons des expressions analytiques pour les fonctions génératrices des moments qui seront inversées numériquement en utilisant la transformée de Fourier afin d’obtenir une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 3, nous considérons une classe de processus qui généralise celle étudiée au chapitre 2 : les processus de renouvellement composés, avec effet de tendance et escompte. Pour cette nouvelle classe, nous obtenons des formules récursives pour le calcul des moments ainsi que des expressions analytiques pour la fonction génératrice des moments, fonction qui peut être inversée analytiquement ou numériquement dans plusieurs cas particuliers afin d’obtenir une expression exacte ou une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 4, nous présentons les hypothèses du modèle stochastique qui servira à évaluer le risque du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé, ce dernier généralisant la classe de modèles considérée au chapitre 3. Au chapitre 5, nous calibrons le modèle proposé au chapitre 4 sur la base de données des réclamations « fermées » d’une compagnie d’assurance de la Floride. Finalement, nous concluons cette thèse avec un résumé des nouveaux résultats et une discussion sur les avenues de recherches potentielles liées à la présente thèse.In this thesis, we present a very large class of counting processes including the renewal process and the non-homogeneous Poisson process, to which we add stochastic discount rates, in order to model the aggregate cost related to medical malpractice insurance. In the introduction, we present some important characteristics related to the cost process of medical malpractice insurance. In Chapter 1, we present some theoretical concepts that will be used to build the aggregate cost process related to the medical malpractice insurance model that is proposed in Chapter 4. In Chapter 2, we present some results related to the compound non-homogeneous Poisson and compound Cox processes with a discount factor. In particular, we derive an analytic expression for the moment generating functions that will be inverted numerically using Fourier transforms in order to obtain an approximation of the probability distribution function. In Chapter 3, we study a class of models that generalizes the class of models studied in Chapter 2 : the compound trend renewal process with discount factor. For this new class of processes, we obtain recursive formulas for the moment calculations and an analytic expression for the moment generating function. The moment generating function can be inverted analytically or numerically for many particular cases in order to obtain an exact expression or an approximation of the probability distribution function. In Chapter 4, we present the stochastic model that will be used to measure the risk of an agregate cost related to medical malpractice insurance, which also generalizes the class of models considered in Chapter 3. In Chapter 5, we calibrate the model proposed in Chapter 4 on the closed claims database of Florida. The conclusion follows with a short summary of the results and an outline of some extensions for future research