Finitary permutation groups and S-groups

This thesis is a survey of A. O. Asar's and M. R. Dixon, M. J. Evans, V. N. Obraztsov, J. Wiegold's papers that are \On Finitary Permutation Groups" and \Groups that are Covered by Non-Abelian Simple Groups". A group G is called FC-group if the conjugacy class of every element is ¯nite. G is called minimal non-FC-group if G is not an FC-group, but every proper subgroup of G is an FC-group. All minimal non-FC-groups that are di®erent from their commutator subgroups are classi¯ed by Belyaev in 1978. Belyaev proved that if there exists a locally ¯nite minimal non-FC-group G that is equal to its commutator subgroup is either G=Z (G) is simple or G is a p-group for some prime p. In 1989, Kuzucuo¸glu and Phillips showed that G=Z (G) can not be simple. Therefore, if there exists a locally ¯nite minimal non-FC-group G with G = G0 then it is a p-group for some prime p. But, existence of a perfect locally ¯nite minimal non-FC-group has been a problem for 30 years. vi F. Leinen and V. V. Belyaev are proved independently that if there exists such a group then it has a non-trivial representation into the group of ¯nitary permutations on some in¯nite set ­. So the existence problem of a perfect locally ¯nite minimal non-FC-group turns out to investige to ¯nitary permutation groups. Asar, in this paper, proved that there exist no such group if the following holds: If G is a locally ¯nite minimal non-FC-group and for every ¯nite non-normal subgroup F of G there exists y 2 GnNG(F) such that yp 2 FCG(F), then G can not be perfect. Let S denote the class of all groups that are the set theoretic union of their non-abelian simple subgroups. In chapter 4, some properties of such groups are examined. In this chapter, it is showed that if G is locally graded group, M is torsion-free radical of G and N is the normal subgroup of G generated by all the elements of ¯nite order and if N 6= 1, then M · N · G, G=N torsion-free, N=M simple. In addition, if also M 6= 1, then every ¯nite subgroup of G is cyclic or metacyclic.Bu tez; A. O. Asar'ın "On Finitary Permutation Groups" ve M. R. Dixon, M. J. Evans, V. N. Obraztsov, J. Wiegold'un "Groups That Are Covered By Non-Abelian Simple Groups" adlı makalelerinin bir derlemesidir. Bir G grubunun her elemanının eşlenik sınıfı sonlu ise G ye FC-grup denir. Kendisi FC-grup olmayan ancak her özalt grubu FC-grup olan gruplara minimal FC-olmayan grup denir. Komütatör grubu kendisinden farklı olan minimal FC-olmayan gruplar V. V. Belyaev tarafından 1978 yılında sınıflandırılmıştır. Belyaev, komütatör grubu kendisine eşit olan minimal FC-olmayan yerel sonlu bir G grubu var ise ya G/Z(G) basit bir grup ya da p asal olmak üzere G nin bir p-grup olduğunu kanıtlamıştır. 1989 da Kuzucuoğlu ve Phillips G/Z(G) nin basit olamayacağını göstermişlerdir. Dolayısıyla G=G? özelliğini sağlayan yerel sonlu minimal FC-olmayan bir grup var ise bu grup bir p-gruptur. Ancak böyle bir grubun var olup olmadığı 30 yıldır açık bir problemdir. F. Leinen ve V. V. Belyaev birbirlerinden bağımsız olarak böyle bir grup var ise bu grubun sonsuz bir ? kümesi üzerindeki sonlumsu permütasyon grubunun bir altgrubuna izomorfik olacağını kanıtlamışlardır. Bu durumda G=G' özelliğini sağlayan yerel sonlu minimal FC-olmayan bir grubun var olup olmadığını incelemek sonlumsu permütasyon grubun altgruplarını incelemekten geçmektedir. Asar bu makalesinde aşağıdaki şartların var olması durumunda böyle bir grubun olamayacağını kanıtlamıştır: Yerel sonlu minimal FC olmayan bir G grubunun normal olmayan sonlu her F altgrubu için y^{p}?FC_{G}(F) olacak şekilde en az bir y?G\N_{G}(F) varsa G mükemmel olamaz. Değişmeli olmayan basit altgruplarının birleşimi ile oluşturulan bütün grupların oluşturduğu sınıfı S ile gösterelim. Bölüm 4 te, bu özellikte olan grupların(S-gruplar) temel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde; G yerel derecelendirilmiş bir S-grup, M grubu G nin serbest periyodik radikali ve G nin tüm sonlu mertebeden elemanları tarafından üretilen normal altgrubu N olmak üzere N?1 ise M?N?G, G/N serbest periyodik, N/M basit olduğu gösterilmiştir. Bununla birlikte M de birimden farklı bir eleman varsa G nin sonlu her altgrubunun ya devirli ya da metadevirli olduğu kanıtlanmıştır