Indirect quadrangular mesh generation and validation of curved finite elements

Among the different types of 3D finite element meshes, hexahedral meshes present properties that can be highly desirable, such as alignment with physical features or a lower computational cost. For this reason and despite the maturity of the tetrahedral mesh generators, hexahedral mesh generation has always been a prolific research domain. Yet, there exists currently no robust algorithm capable of generating conformal all-hexahedral meshes with prescribed input size field on any arbitrary geometry. One difficulty that remains is that there exists no method to robustly assert that a hexahedron is valid. Indeed, linear hexahedra can be folded (tangled) in the same way than curvilinear tetrahedra. This thesis addresses two subjects. First, two original quadrangular mesh generation techniques are investigated, with the aim to generalize them to 3D. Both are indirect methods and thus consider the problem of combining pairs of triangles of an initial input triangular mesh. The first technique, called Blossom-Quad, computes the optimal solution of this problem with respect to a given quality criterion. As for any indirect method, the quality of the solution strongly depends on the location of the nodes in the initial triangular mesh. The generalization to 3D is however unclear and a second technique is investigated. This one aims at computing a near-optimal solution by using a look-ahead tree technique. The corresponding algorithm allows tuning the quality of the final mesh by choosing the depth of the tree as a parameter. This technique gives a promising way forward, especially as it is directly applicable in 3D. The second subject concerns the development of a method that permits to compute, with respect to any prescribed tolerance, the extrema of Jacobian-based quantities defined on finite elements of any order and type. Applied to the Jacobian determinant, this method allows to assert the validity of any (curvi-)linear finite element. This method is also applied to a quality measure that quantifies the pointwise anisotropy of the elements. Besides being very attractive for hexahedral mesh generation, this method is especially useful for the analysis of curvilinear finite element meshes. It can moreover be an important component of optimization techniques for achieving robustness.Parmi les différents types de maillages d’éléments finis 3D, les maillages hexaédriques présentent des propriétés qui peuvent être extrêmement attrayantes telles que l'alignement avec les caractéristiques physiques ou un coût de calcul plus faible. Pour cette raison, et malgré la maturité des algorithmes de génération de maillages tétraédriques, la génération de maillage hexaédrique a toujours été un domaine de recherche prolifique. Pourtant, il n'existe pas encore d'algorithme robuste capable de générer des maillages totalement hexaédriques, conformes, sur des géométries arbitraires, tout en respectant un champ de taille imposée. Une difficulté qui subsiste est qu'il n'existe pas de méthode pour affirmer de manière robuste qu'un hexaèdre est valide. En effet, les hexaèdres linéaires peuvent être repliés sur eux-mêmes au même titre que peuvent l'être les tétraèdres courbes. Cette thèse traite de deux sujets. Premièrement, deux techniques originales de génération de maillages quadrangulaires sont examinées avec le but de pouvoir les généraliser au problème 3D. Ces deux techniques prennent l'approche indirecte qui consiste à combiner des paires de triangles dans un maillage triangulaire initial d'entrée. La première technique, appelée Blossom-Quad, calcule la solution optimale de ce problème par rapport à un critère de qualité donné. Comme pour n'importe quelle autre méthode indirecte, la qualité de la solution dépend fortement de la localisation des nœuds dans le maillage triangulaire initial. La généralisation au problème 3D est toutefois incertaine et une seconde technique est examinée. Celle-ci vise à calculer une solution presque optimale en utilisant une technique d'arbre de décision. L'algorithme correspondant permet de commander la qualité du maillage final en choisissant la profondeur de l'arbre comme paramètre. Cette technique donne une voie à suivre prometteuse, particulièrement de par le fait qu'elle soit directement applicable au problème 3D. Le second sujet traite du développement d'une méthode qui permet de calculer avec la précision voulue les valeurs extrêmes de quantités basées sur le jacobien qui sont par essence valables pour les éléments finis de n'importe quel type et n'importe quel ordre. Appliquée au déterminant jacobien, cette méthode, permet d'affirmer la validité des éléments finis linéaires ou courbes. Cette méthode est aussi appliquée à une mesure de qualité qui quantifie l'anisotropie ponctuelle des éléments. En plus d'être très intéressante pour la génération de maillage hexaédrique, cette méthode est particulièrement utile pour l'analyse de maillages d'éléments finis courbes. Elle peut également être un composant important des techniques d'optimisation afin d'accroître leur robustesse