Parallélisme et robustesse des solveurs hybrides pour grands systèmes linéaires : Application à l'optimisation en dynamique des fluides

This thesis presents a set of numerical schemes that aim at solving large linear systems on parallel computers. The proposed approaches are part of a hybrid scheme where the direct and iterative methods are combined through domain decomposition techniques. The initial problem is first divided into subproblems by partitioning the coefficient graph of the system. The Schwarz-based methods are then used as preconditioners for GMRES-based Krylov methods. We first consider a hybrid scheme using an explicit formulation of the multiplicative Schwarz preconditioner. We define two levels of data parallelism : the first level has been used to parallelize the GMRES method at the global level; we introduce the second level to solve the subsystems induced by the Schwarz preconditioner through a parallel direct method. We show that this splitting guarantee a certain robustness in the global hybrid approach by reducing the total number of partitions. Moreover, this approach enables a better usage of CPU resources allocated inside a compute node. Then we study the convergence and the parallelism in the GMRES method which is used as the global accelerator in the hybrid method. The general observation is that the number of iterations in that method increases very fast with the number of partitions in the hybrid solver, and so the total CPU time. To limit this effect, we propose several implementations of the GMRES method with the deflation methods. These approaches formulate a deflation process either as an adaptive preconditioner or an augmented subspace basis technique. We show the usefulness of these approaches in their ability to limit the influence of the right choice of the Krylov basis size, and thus to avoid the stagnation of the global hybrid solver. Moreover, these approaches are very efficient to reduce the memory usage as well as the global CPU time and also the exchanged MPI messages between the working processors. The benefits are given throughout this thesis on moderate to large linear systems arising from several applications fields, and mainly from design optimisation in computational fluid dynamics.Cette thèse présente un ensemble de routines pour la résolution des grands systèmes linéaires creuses sur des architectures parallèles. Les approches proposées s'inscrivent dans un schéma hybride combinant les méthodes directes et itératives à travers l'utilisation des techniques de décomposition de domaine. Dans un tel schéma, le problème initial est divisé en sous-problèmes en effectuant un partitionnement du graphe de la matrice coefficient du système. Les méthodes de Schwarz sont ensuite utilisées comme outils de préconditionnements des méthodes de Krylov basées sur GMRES. Nous nous intéressons tout d'abord au schéma utilisant un préconditionneur de Schwarz multiplicatif. Nous définissons deux niveaux de parallélisme: le premier est associé à GMRES préconditionné sur le système global et le second est utilisé pour résoudre les sous-systèmes à l'aide d'une méthode directe parallèle. Nous montrons que ce découpage permet de garantir une certaine robustesse à la méthode en limitant le nombre total de sous-domaines. De plus, cette approche permet d'utiliser plus efficacement tous les processeurs alloués sur un noeud de calcul. Nous nous intéressons ensuite à la convergence et au parallélisme de GMRES qui est utilisée comme accélerateur global dans l'approche hybride. L'observation générale est que le nombre global d'itérations, et donc le temps de calcul global, augmente avec le nombre de partitions. Pour réduire cet effet, nous proposons plusieurs versions de GMRES basés sur la déflation. Les techniques de déflation proposées utilisent soit un préconditionnement adaptatif soit une base augmentée. Nous montrons l'utilité de ces approches dans leur capacité à limiter l'influence du choix d'une taille de base de Krylov adaptée, et donc à éviter une stagnation de la méthode hybride globale. De plus, elles permettent de réduire considérablement le coût mémoire, le temps de calcul ainsi que le nombre de messages échangés par les différents processeurs. Les performances de ces méthodes sont démontrées numériquement sur des systèmes linéaires de grande taille provenant de plusieurs champs d'application, et principalement de l'optimisation de certains paramètres de conception en dynamique des fluides