Lois de feedback pour le contrôle d'écoulements

Cette thèse est consacrée à la stabilisation des équations de Navier-Stokes (NS) autour d'une solution stationnaire instable, à l'aide un contrôle frontière en boucle fermée. Nous construisons tout d'abord une loi de contrôle frontière non linéaire stabilisant localement une équation de Burgers en dimension deux, et adaptons la méthode utilisée aux équations de NS. Dans une seconde partie, nous montrons qu'un contrôle de dimension finie stabilisant les modes instables de l'équation linéarisée est capable de stabiliser localement le système non linéaire complet. Nous présentons des résultats numériques dans le cas de la cavité ouverte. Le chapitre 5 est consacré à l'approximation, pour le problème de contrôle, de la condition d'incompressibilité par une méthode de pénalisation. La troisième partie traite de la stabilisation robuste des équations de NS. Les erreurs de modèles sont des perturbations de la vitesse sur une partie de la frontière du domaine. Nous déterminons une loi de contrôle robuste stabilisant localement les équations de NS en résolvant un problème de type min-max. Enfin, nous étudions le couplage de l'estimation et du contrôle pour une équation de Burgers en dimension deux, dans le cas d'une observation et d'un contrôle frontières. Nous obtenons un résultat de stabilisation locale de l'équation de Burgers, pour ce type d'observation partielle.This thesis is dedicated to the stabilization of the two-dimensional Navier-Stokes (NS) equations about an unstable stationary solution by a boundary feedback control. We first prove the stabilization of a Burgers equation using a nonlinear feedback law, and we apply this theory to the nonlinear NS equations. In a second part, we show that a finite dimensional control stabilizing the unstable eigenspace of the linearized equation, also stabilizes locally the nonlinear system.We present some numerical results in the case of the open cavity. The fifth chapter is devoted to the approximation, for the control problem, of the incompressibility condition by a penalty method. In a third part, we are interested in the robust stabilization of the NS equations. We suppose that the velocity on a part of the boundary is perturbated. By solving a min-max problem of optimization, we deduce a robust feedback law stabilizing locally the NS equations. Finally, we study the coupling between the estimation and the control in the case of a twodimensional Burgers equation, with boundary observation and control. We obtain the local stabilization of the two-dimensional Burgers equation, for this kind of partial observation