Option Price Decomposition for Local and Stochastic Volatility Jump Diffusion Models

In this thesis, an option price decomposition for local and stochastic volatility jump diffusion models is studied. On the one hand, we generalise and extend the Alòs decomposition to be used in a wide variety of models such as a general stochastic volatility model, a stochastic volatility jump dffusion model with finite activity or a rough volatility model. Furthermore, we note that in the case of local volatility models, speci_cally, spot-dependent models, a new decomposition formula must be used to obtain good numerical results. In particular, we study the CEV model. On the other hand, we observe that the approximation formula can be improved by using the decomposition formula recursively. Using this decomposition method, the call price can be transformed into a Taylor type formula containing an infinite series with stochastic terms. New approximation formulae are obtained in the Heston model case, finding better approximations.En aquesta tesi, s'estudia una descomposició del preu d'una opció per a models de volatilitat local i volatilitat estocàstica amb salts. D'una banda, generalitzem i estenem la descomposició d'Alòs per a ser utilitzada en una àmplia varietat de models com, per exemple, un model de volatilitat estocàstica general, un model de volatilitat estocàstica amb salts d'activitat finita o un model de volatilitat 'rough'. A més a més, veiern que en el cas dels models de volatilitat local, en particular, els models dependents del 'spot' s'ha d'utilitzar una nova fórmula de descomposició per a obtenir bons resultats numèrics. En particular, estudiem el model CEV. D'altra banda, observem que la fórmula d'aproximació es pot millorar utilitzant la formula de descomposició de forma recursiva. Mitjançant aquesta tècnica de descomposició, el preu d'una opció de compra es pot transformar en una formula tipus Taylor que conté una sèrie infinita de termes estocàstics. S'obtenen noves fórmules d'aproximació en el cas del model de Heston, trobant una millor aproximació.En esta tesis, se estudia una descomposición del precio de una opción para los modelos de volatilidad local y volatilidad estocástica con saltos. Por un lado, generalizamos y ampliamos la descomposición de Alòs para ser utilizada en una amplia variedad de modelos como, por ejemplo, un modelo de volatilidad estocástica general, un modelo de volatilidad estocástica con saltos de actividad finita o un modelo de volatilidad 'rough'. Además, vemos que en el caso de los modelos de volatilidad local, en particular, los modelos dependientes del 'spot', se debe utilizar una nueva fórmula de descomposición para obtener buenos resultados numéricos. En particular, estudiamos el modelo CEV. Por otro lado, observamos que la fórmula de aproximación se puede mejorar utilizando la fórmula de descomposición de forma recursiva. Mediante esta técnica de descomposición, el precio de una opción de compra se puede transformar en una fórmula tipo Taylor que contiene una serie infinita de términos estocásticos. Se obtienen nuevas fórmulas de aproximación en el caso del modelo de Heston, encontrando una mejor aproximación