Cluster algebras associated to open Richardson varieties : an algorithm to compute initial seeds

Les algèbres amassées sont des anneaux commutatifs intègres avec une structure combinatoire particulière.Cette structure consiste en la donnée d’une famille de graines, liées entre elles par une opération appelée mutation.Chaque graine est composée de deux parties : un amas et un carquois.Les variétés de Richardson ouvertes sont des strates de la variété de drapeaux associée à un groupe linéairealgébrique de type simplement lacé. Elles sont l’intersection de cellules de Schubert respectivement à deux sous-groupes de Borel opposés. Dans [Lec16], une sous-algèbre amassée de rang maximal sur l’anneau de coordonnéesd’une variété de Richardson ouverte a été construite et cette sous-algèbre est conjecturée être égale à l’anneauentier. La construction de cette algèbre amassée provient d’une catégorie de Frobenius C v,w de modules surl’algèbre préprojective, définie comme intersection de deux catégories C w et C v déjà étudiées par Geiss, Leclerc,Schröer et Buan, Iyama, Reiten et Scott. Le lien entre les algèbres amassées et les structures amassées est donnépar le caractère d’amas défini dans [GLS06].Dans cette thèse, nous construisons un algorithme qui, étant donné les paramètres définissant une variété deRichardson ouverte, construit un module rigide maximal explicite de la catégorie de Frobenius associée et soncarquois. Cet algorithme a pour donnée de départ la graine initiale pour la structure amassée sur C w définiepar un représentant w d’un élément w du groupe de Weyl. Par le biais d’une suite de mutations déterminéecombinatoirement, on obtient à partir de la graine initiale un module rigide maximal de C w qui, à suppressionde certains facteurs directs près, est un module rigide maximal de C v,w . De plus le sous-carquois du carquoismuté est exactement le carquois de l’algèbre d’endomorphisme du module rigide maximal de C v,w donnant alorsla description complète d’une graine initiale pour la structure amassée de C v,w .Cluster algebras are integral domains with a particular combinatorial structure. This structure consists in thedata of a family of seeds linked together by an operation called mutation. Each seed consists in two parts : acluster and a quiver.Richardson open varieties are some strata of the flag variety associated to a simple linear algebraic groupof simply-laced type. These are the intersection of Schubert cells with respect to two opposite Borel subgroups.In [Lec16] a cluster subalgebra of maximal rank on the coordinate ring of an open Richardson variety has beenconstructed and this subalgebra is conjectured to be equal to the whole ring. The construction of this clusteralgebra comes from a Frobenius category C v,w of modules over the preprojective algebra, defined as the intersectionof two categories C w and C v already studied by Geiss, Leclerc, Schröer and Buan, Iyama, Reiten and Scott. Thebond between cluster algebras and cluster structures is given by the cluster character defined in [GLS06].In this thesis we build an algorithm which, given the parameters defining a Richardson open variety, computean explicit maximal rigid module of the associated Frobenius category and its quiver. This algorithm has aninitial seed for the cluster structure on C w defined by a representative w of an element w of the Weyl group as astarting datum. By a combinatorially defined sequence of mutation on this initial seed we obtain a maximal rigidmodule of C w which is, up to deletion of some direct summands is a maximal rigid module of C v,w . In addition,the subquiver of the mutated quiver is exactly the quiver of the endomorphism algebra of the C v,w -maximal rigidmodule, giving then the complete description of an initial seed for the cluster structure on C v,w