Méthodes numériques pour la simulation de la propagation des ondes de cisaillement dans des milieux quasi incompressibles, et application à l’élastographie

Transient elastography is a medical characterization technology that estimates the stiffness of biological soft tissues. By imaging the transient propagation of shear wave in tissues, one can deduce the shear modulus µ. In the last decade, this technique has been used successfully to study various pathologies, particularly fibrosis and cancers. However, numerous factors such as wave reflection, boundary conditions and pre-stress disturb elastography measurements, and the quality of the mechanical characterization of the tissue can be altered. Moreover, the tissues exhibit more complex mechanical properties, including viscosity, nonlinearity and anisotropy, the characterization of which can improve the diagnostic value of elastography. Simulations of wave propagation by finite element (FE) appear promising since they make it possible to study the influence of intrinsic and extrinsic mechanical parameters on the propagation speeds and thus to allow the identification of complex mechanical properties in the real measurement cases. In this work, we develop a FE model for the propagation of nonlinear waves in soft tissues. The numerical models are validated from elastographic experiments taken from the literature, and then used to evaluate the identifiability of the parameters of a nonlinear model in elastography, \emph{i.e.}, Landau's law. By measuring finite amplitude waves and low amplitude waves in pre-deformed states, a practical and robust method is proposed to identify the nonlinearity of homogeneous tissues using elastography experiment. The problem of the cost of computation is also studied in this work. In fact, the quasi-incompressibility of biological tissues makes the compressional wave speed extremely high, which limits the time step of a simulation formulated in explicit dynamics. To deal with this difficulty, different numerical methods are presented, in which the time step is controlled by the shear wave speed instead of the compressional wave speed. Various numerical examples are tested in the context of dynamic elastography, it has been shown that the methods are precise for these problems and a significant reduction of the CPU time is obtained.L'élastographie transitoire est une technologie médicale de caractérisation qui permet d'estimer la rigidité des tissus mous biologiques. En visualisant la propagation de l'onde de cisaillement dans le tissu, on peut déduire le module de cisaillement µ. Au cours de la dernière décennie, cette technique a été utilisée avec succès pour étudier diverses pathologie, en particulier la fibrose, le cancer. Cependant, de nombreux facteurs, comme par exemple, la réflexion des ondes, les conditions aux limites et la précontrainte perturbent les mesures en élastographie, la qualité de la caractérisation mécanique du tissu peut alors être altérée. De plus, les tissus présentent des propriétés mécaniques plus complexes, dont la viscosité, la nonlinéarité et l'anisotropie, dont la caractérisation peut améliorer la valeur diagnostique de l'élastographie. Les simulations de propagation d'onde par Eléments Finis (EF) apparaissent alors prometteuses puisqu'elles permettent d'étudier l'influence des paramètres mécaniques intrinsèques et extrinsèques sur les vitesses de propagation et ainsi, de permettre l'identification de propriétés mécaniques complexes dans les cas de mesure réels. Dans ce travail, nous développons un modèle d'éléments finis pour la propagation d'ondes non-linéaires dans les tissus mous. Les modèles numériques ont été validés à partir d'expériences d'élastographie issues de la littérature et ensuite utilisés pour évaluer l'identifiabilité des paramètres d'un modèle de comportement non-linéaire dans l'élastographie: la loi de Landau. En mesurant les ondes d'amplitude finie et les ondes de faible amplitude autour d'un état pré-déformé, une méthode pratique et robuste est proposée pour identifier la nonlinéarité des tissus homogènes en utilisant l'expérience d'élastographie. La problématique du coût de calcul est également étudiée dans ce travail. En effet, la quasi-incompressibilité des tissus biologiques rend la vitesse de l'onde de pression extrêmement élevée, ce qui limite le pas de temps d'un calcul formulé en dynamique explicite. Pour faire face à cette difficulté, différentes méthodes numériques sont présentées, dans lesquelles l'incrément de temps est limité par la vitesse d'onde de cisaillement au lieu de la vitesse d'onde de compression. Divers exemples numériques sont testés dans le cadre de l'élastographie dynamique, il a été montré que les méthodes sont précises pour ces problèmes et une réduction significative du temps CPU est obtenue