Derivadas de Lie: Transformaciones infinitesimales

Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2019-2020[ES] El eje central de este trabajo es la construcción de procesos de derivación sobre variedades diferenciables que sean coherentes y de carácter general. Estudiaremos dos, uno basado en la identificación de espacios tangentes a lo largo de las curvas integrales de un campo de vectores mediante el flujo del campo de vectores (derivada de Lie), y otro que usa la noción de transporte paralelo a lo largo de cualquier curva asociado a una conexión dada para tal identificación (derivada covariante). Introducimos la derivada de Lie para campos de tensores, el concepto de transformación infinitesimal y caracterizamos los campos de vectores que resultan ser una tal transformación. En el estudio de la derivada covariante analizamos la existencia de conexiones distinguidas (conexión de Levi-Civita) y contruimos una correcta definición de carácter general para la aceleración de una curva[EN] The main purpose of this work is the construction of two coherent and general derivation processes over smooth manifolds. The first one is based on the identification of the tangent spaces along the integral curves of a vector field by means of the associated flow (Lie Derivative), while the second one uses the notion of parallel transport along arbitrary curves induced by a connection for the identification (covariant derivative). We introduce the Lie derivative of tensor fields, the concept of infinitesimal tranformation as well as their characterization. In the second part, after introducing the covariant derivative, we analyze the existence of distinguished conections (Levi-Civita conection). As an application, the acceleration of a curve is analyze