Evaluating zeta functions of Abelian number fields at negative integers

In this thesis we study abelian number fields and in particular their zeta functions at the negative integers. The prototypical examples of abelian number fields are the oft-studied cyclotomic fields, a topic upon which many texts have been almost exclusively dedicated to (see for example \cite{washington1997introduction} or nearly any text on global class field theory). \\ We begin by building up our understanding of the characters of finite abelian groups and how they are related to Dedekind zeta functions. We then use tools from number theory such as the Kronecker-Weber theorem and Bernoulli numbers to find a simple algorithm for determining the values of these zeta functions at negative integers. We conclude the thesis by comparing the relative complexity of our method to two alternative methods that use completely different theoretical tools to attack the more general problem of non-abelian number fields.Dans cette thèse nous étudions les corps de nombres abéliens et en particulier leurs fonctions zeta aux entiers négatifs. Les exemples-type de corps de nombres abéliens sont les corps cyclotomiques que l'on étudie fréquemment, un sujet auquel de nombreux textes ont été entièrement consacrés (voir par exemple \cite{washington1997introduction} ou presque tous les textes sur la théorie globale des corps de classes).Nous commençons par construire notre comprehension des caractères des groupes abéliens finis et de ce qui les lie aux fonctions zeta de Dedekind. Ensuite nous utilisons des outils de théorie des nombres comme le théorème de Kronecker-Weber et les nombres de Bernouilli pour trouver un algorithme simple pour déterminer les valeurs de ces fonctions zeta aux entiers négatifs. Nous concluons la thèse en comparant la complexité relative de notre méthode a deux méthodes alternatives qui utilisent des outils théoriques complètement différents pour attaquer le problème plus général des corps de nombres non-abéliens