Exponential sums, hypersurfaces with many symmetries and Galois representations

The main theme of this thesis is the study of compatible systems of $\ell$-adic Galois representations provided by the étale cohomology of arithmetic varieties with a large group of symmetries. A canonical decomposition of these systems into isotypic components is proven (Section 3.1). The isotypic components are realized as the cohomology of the quotient with values in a certain sheaf, thus providing a geometrical interpretation for the rationality of the corresponding $L$-functions. A particular family of singular hypersurfaces $W_\ell^{m,n}$ of degree $\ell$ and dimension $m + n - 3$, admitting an action by a product of symmetric groups $S_m \times S_n$, arises naturally when considering the average moments of certain exponential sums (Chapter 4); asymptotics for these moments are obtained by relating them to the trace of the Frobenius morphism on the cohomology of the desingularization of the corresponding varieties, following the approach of Livné. Two other closely related classes of smooth hypersurfaces admitting an $S_n$-action are introduced in Chapter 3, and the character of the representation of the symmetric group on their primitive cohomology is computed. In particular, a certain smooth cubic hypersurface of dimension 4 is shown to carry a compatible system of 2-dimensional Galois representations. A variant of the Faltings-Serre method is developed in Chapter 5 in order to explicitly determine the corresponding modular form, whose existence is predicted by Serre's conjecture. We provide a systematic treatment of the Faltings-Serre method in a form amenable to generalization to Galois representations of other fields and to other groups besides $\GL_2$.Le thème principal de cette thèse est l'étude des systèmes compatibles de représentations galoisiennes $\ell$-adiques provenant de la cohomologie étale de variétés arithmétiques admettant beaucoup de symétries. Une décomposition canonique de ces systèmes en composantes isotypiques est obtenue (section 3.1). Les composantes isotypiques sont décrites comme la cohomologie du quotient à valeurs dans un certain faisceau, fournissant ainsi une interprétation géométrique de la rationalité des fonctions $L$ correspondantes. Une famille spécifique d'hypersurfaces $W_\ell^{m,n}$ de degré $\ell$ et dimension $m+n-3$, admettant une action du produit de groupes symétriques $S_m \times S_n$, apparaît naturellement en lien avec les moments moyens de certaines sommes exponentielles (chapitre 4); le comportement limite de ces moments est obtenu en considérant la trace du morphisme de Frobenius sur la cohomologie de la désingularisation des variétés correspondantes, suivant l'approche développée par Livné. Deux autres classes apparentées d'hypersurfaces lisses admettant une action du groupe symétrique sont introduites au chapitre 3, et le caractère de la représentation de $S_n$ sur leur cohomologie primitive est calculé. En particulier, dans le cas d'une certaine hypersurface cubique de dimension 4, un système compatible de représentations galoisiennes de dimension 2 est obtenu. Une variante de la méthode de Faltings-Serre est développée dans le chapitre 5 afin de déterminer explicitement la forme modulaire correspondante, dont l'existence est prédite par la conjecture de Serre. Nous proposons un traitement systématique de la méthode de Faltin