On the use of Gauss' principle in vibration analysis

In 1829, C.F. Gauss stated his celebrated principle of least constraints which primarily describes the relation between the actual and free accelerations of a system of punctual masses: the actual acceleration satisfies the constraints acting on the system while the free acceleration ignores them. The principle takes the form of a constrained quadratic optimization problem and is based on minimizing the squared difference between the actual and free accelerations. In vibration analysis, the main advantage of this approach is the possibility of obtaining the steady state forced response directly. The availability of numerical minimization tools which were not developed when this principle was first introduced makes this topic appealing again. In this exploratory study, Gauss' principle of least constraints is illustrated through examples from vibration analysis and its functionality is examined in properly predicting the steady state forced response of various simple mechanical systems such as a single pendulum, a Duffing oscillator, a piecewise linear system and a unilaterally constrained mass-spring system. The vibration analysis of periodically forced systems is investigated and the dynamic behavior of the system obtained from Gauss' approach is compared with those from ordinary differential equations solvers.En 1829, C.F. Gauss a énoncé son célèbre principe des moindres contraintes qui décrit principalement la relation entre l'accélération réelle et l'accélération de mouvement libre d'unb système de masses ponctuelles: à l'inverse de l'accélération libre, l'accélération réelle satisfait les contraintes agissant sur le système. Le principe s'écrit sous la forme d'un problème d'optimisation quadratique contraint et est basée sur la minimisation de la valeur résiduelle entre les accélérations réelles et libres. Dans le domaine de l'analyse vibratoire, le principal avantage de cette approche est la possibilité d'obtenir directement la réponse forcée. La disponibilité d'outils de minimisation numériques inexistants lorsque ce principe a été introduit le rend attractif à nouveau. Dans cette étude exploratoire, le principe de Gauss des moindres contraintes est illustré par des exemples d'analyse vibratoire et sa capacité à correctement prédire la réponse forcée est examinée. Le concept des moindres contraintes est utilisé pour trouver des solutions approximatives des équations différentielles du mouvement de divers systèmes mécaniques tels que le pendule simple, l'oscillateur de Duffing, un système linéaire par morceaux et un système masse-ressort unilatéralement contraint. L'analyse des vibrations des systèmes périodiquement forcés est étudiée et le comportement dynamique du système obtenu à partir de l'approche de Gauss est comparé à celui prédit par des méthodes de résolution d'équations différentielles ordinaires