Condition-number minimization for functionally redundant serial manipulators

As a performance objective the condition number of the normalized Jacobian matrix, also called the dexterity index, is used. This index is important, for it provides a measure of ``distance'' form singularities. By staying ``away'' from singularities, the robot should be able to perform tasks much more accurately. In fact, the condition number of the Jacobian bounds the ratio of a norm of joint errors to a norm of the end-effector non-dimensional pose errors. The dexterity index thus plays an important role in robot-assisted machining tasks, since accuracy is one of the main issues for these applications. One major concern in computing the condition number of the normalized Jacobian matrix lies in defining a characteristic length, needed for normalization purposes. Without this normalization, the condition number would not have any significance since, in its computation, quantitieswith units of length squared would be added to dimensionless quantities. To gain further understanding into the characteristic length and condition number, a geometric interpretation of these two items, the latter as pertaining to the characteristic length and condition number of the normalized Jacobian is investigated for three-degree-of-freedom (three-dof) planar robots. The procedure can be extended to six-dof spatial robots, but only for the interpretation of the condition number.In a second part, for manufacturing tasks such as machining, welding, deburring and milling, sequential quadratic programming (SQP) is applied as a redundancy-resolution algorithm. For these tasks, an axis of symmetry exists on the end-effector, which is the tool axis. A rotation of the end-effector about this axis clearly does not influence the task at hand. When the task is executed by a 6-dof robot, the robot has an extra degree of freedom, allowing it to perform a secondary task. In this case, the robot is called \emph{functionally redundant}. This redundancy arises only because of the task dimension, which is lower than the number of axes available.Concerning functionally redundant robots, special attention must be given to their redundancy-resolution, as conventional methods using the null space of the Jacobian matrix are not applicable. The SQP approach developed here takes this feature into account: it finds the Jacobian null space by identifying the tool axis in the robot base coordinates. This is an approach similar to the recently developed Twist Decomposition Algorithm (TWA); however, the SQP is expected to provide better convergence properties of the algorithm since a quadratic approximation of the objective function is used. A functionally redundant robot using the SQP redundancy-resolution method is also investigated in an example to show the effectiveness of the proposed SQP redundancy-resolution method. In this example, a comparison is made between the quasi-Newton and Newton-Raphson methods to find the posture of minimum condition-number for the robot.{RobotMaster} is used in this example to verify the trajectory.Le conditionnement de la matrice Jacobienne normalisée, aussi connue comme l’index de dextérité, est un index de performance important pour éviter les singularités à l’intérieur de l’espace de travail d’un robot. En augmentant la distance des singularitées, le robot est capable d’exécuter des tâches de façon plus précise. En effet, le conditionnement de la matrice Jacobienne borne la taille relative du vecteur d’erreur des articulations à la taille relative du vecteur d’erreur de positionnement et d’orientation de l’outil. Le conditionnement de la matrice Jacobienne joue donc un rôle important pour des robots exécutant des tâches de fabrication.L’un des défis majeurs dans le calcul du conditionnement de la matrice Jacobienne se trouve dans la définition d’une longueur caractéristique pour normaliser la matrice Jacobienne. Sans cette normalisation, le conditionement de la matrice Jacobienne ne serait pas significatif, puisque lors de son calcul, des quantités aux unités de longueur au carré seraient ajoutées à des quantités nondimensionnelles. Dans l’optique de mieux comprendre la signification de la longueur caractéristique, une interprétation de celle-ci, ainsi que du conditionnement de la matrice Jacobienne est étudié pour le cas des robots planaires à trois dégrées de liberté (trois-ddl).Dans la deuxième partie, pour des opérations d’usinage et de soudure, la méthode PQS utilisée comme un algorithme de résolution de la redondance est étudiée. Ces t\âches se caractérisent par le fait qu’il existe un axe de symétrie sur l’effecteur du robot soit l’axe de l’outil. Dans ces cas, il est évident qu’une rotation de l’outil autour de cet axe ne change pas la tâche qui doit être accomplie. Cette redondance, aussi connue sous le nom de emphredondance fonctionnel, permet au robot d’effectuer une tâche secondaire. Elle se caractérise aussi par une capacité du robot de faire des déplacements de son outil ayant un ou des ddl de plus que la tâche nécessite. Cette redondance est différente de la redondance intrinsèque d’un robot, qui se caractérise plutôt par un nombre d’articulations plus élevé que le nombre de ddl du déplacement potentiel de l’outil. La résolution de la redondance fonctionnelle mérite une attention spécial, puisque les méthodes de résolution conventionnelle, qui se base sur le noyeau de la matrice Jacobienne ne peuvent être utilisées, et ce, car en générale la matrice Jacobienne du robot aura un noyeau vide. La méthode PQS proposée prend ce fait en considération en identifiant l’axe redondant de l’outil en coordonnées cartésiennes. Cette approche est similaire à l’agorithme dedécomposition du torseur cinématique; cependant des meilleures propriétés au niveau de la convergence devraient être observées pour la méthode PQS puisqu’elle se base sur une approximation quadratique de la fonction objective au lieu d’utiliser une approximation linéaire. Finalement, la pertinence de la méthode est validée par l’entremise d’un exemple. L’example démontre l’avantage d’utiliser la méthode quasi-Newton au lieu de la méthode Newton-Raphson pour trouver la configuration optimale du robot