The interplay of bulk and edge elastic energies in physics and biology

Nature abounds with systems wherein the competition of surface and edge energies shape the structure and serve the functionality. Lipoprotein particles, bacterial biofilms, and dorsal mesentery membrane, are among examples of such systems, all sharing a similar mechanical behaviour: the bending and stretching resistance of a bio-membrane competes with flexural and torsional resistance of a bounding filament. \\As a first step for investigating such systems, we study soap films spanning elastic, inextensible loops. The loop is modeled as a closed Kirchhoff elastic rod resistant to bending and twisting, while the soap film is modeled as a two-dimensional surface endowed with constant surface tension, the boundary of which coincides with the centreline of the bounding loop. Euler--Lagrange equations and stability criteria are derived using a variational approach. Next, linearized forms of the equilibrium equations are solved in a parameterized setting, followed by a buckling analysis. A planar disc provides a trivial solution and two dimensionless parameters control bifurcation from it. One of these parameters measures the significance of surface tension relative to lineal bending of the loop, whereas the other is indicative of the importance of the twisting moment of the bounding loop relative to its bending moment. Two distinct groups of buckling modes are identified for sufficiently small values of the latter parameter. However, when that parameter exceeds the critical twist density of Michell, arising in the study of the stability of a twisted annular ring, only one buckling mode exists. The buckling analysis predict more resistance to transverse buckling, the greater the torsional rigidity is relative to the bending rigidity. Moreover, the stability analysis indicate that the surface tension makes a circular loop less stable with respect to twist, leading to buckling at values of twist less than the value at which buckling would occur if the soap film were absent.A generalization of the previous setting may be achieved by endowing the surface with resistance to bending and relaxing the inextensibility constraint on the boundary. Such a generalization is specifically useful for the study of open lipid bilayers, which are subject of increasing research interest due to significance of cell-membrane pores in targeted drug delivery and gene therapy. Since stabilization of these pores is achieved by using external stimuli such as electric field, the system is considered to be subject to external forces and couples distributed on the surface and the edge. In addition, motivated by various theoretical and experimental evidences, the dissipative mechanisms at the membrane edge are taken into account.A lipid bilayer resists bending but not tangential shear. Therefore, it is modeled as a two dimensional surface, the energy of which is a function of the Gaussian and mean curvatures. In addition, the edge, which coincides with the surface boundary, is assumed to possess an energy density which depends on its geometry. A variational approach is employed to obtain the Euler--Lagrange equations, and the force and moment that the surface exerts on the edge. Although advantageous for study of elastic materials, variational methods are impotent in modeling inelastic phenomena, such as the dissipative mechanisms encountered at a lipid bilayer pore. Thus, in order to account for viscous effects, the governing equations at the edge are alternatively derived from the force and moment balances, and further, the free energy imbalance is used to ensure the thermodynamic compatibility of constitutive relations. Applying the Coleman-Noll procedure leads to constitutive relations for the elastic contributions to the internal force and moment, and a reduced dissipation inequality which restricts the viscose counterparts. On neglecting the viscous contributions, the governing equations reduce to those obtained by variational methods.La nature abrite des systèmes dans lesquels la concurrence d’énergie de surface et d’énergie de pointe façonne les structures et sert les fonctionnalités. Des particules lipoprotéiques, biofilms bactériens, ainsi que la membrane du mésentère dorsal, sont parmi des exemples de tels systémes, qui partagent tous un comportement mécanique similaire: la résistance à la flexion et l’étirement d’une membrane biologique sont en concurrence avec la résistance à la flexion et à la torsion d’un fil de délimitation. Pour débuter notre analyse de ces systèmes, nous étudions des films de savon couvrant les boucles élastiques et inextensibles. La boucle est modélisée comme une tige élastique Kirchhoff fermée, résistante à la flexion et la torsion. Le film de savon est modélisé en tant que surface à deux dimensions doués de tension de surface constante, la limite de ce qui coïncide avec la ligne médiane de la boucle de délimitation. Les equations d’Euler--Lagrange et les critères de stabilité sont calculées en utilisant une approche variationnelle. Par la suite, les formes linéaires des équations d’équilibre sont résolus dans une cadre paramétrée, suivies d’une analyse de flambage. Un disque plain fournit une solution triviale et deux paramètres sans dimension contr\ôlent la bifurcation. L’analyse de flambage démontre une plus grande résistance à la déformation transversale, plus grande que la rigidité à la torsion par rapport à la rigidité à la flexion. En outre, l’analyse de stabilité indique que la tension de surface fait une boucle circulaire moins stable par raport à la torsade. En effet, cette m\ême boucle flambe à des valeurs de torsade inférieures dans le cas de la présence du film de savon. \\Une généralisation du précédent système peut \être obtenue en dotant la surface avec une résistance à la flexion et à l’assouplissement de la contrainte d’inextensibilité sur la limite. Une telle généralisation est particulièrement utile pour l’étude de bicouches lipidiques ouverts, qui font l’objet d’un intérêt croissant dans la recherche dû à l’importance des pores de la membrane cellulaire pour l’administration ciblée de médicaments et pour la thérapie génique. Une bicouche lipidique résiste à la flexion, mais pas au cisaillement tangentiel. En effet, elle est modélisée comme une surface à deux dimensions avec une énergie libre de type Canham--Helfrich. De plus, la densité d’énergie du bord peu peut dépend de sa géométrie. Une approche variationnelle est utilisée pour obtenir les équations Euler--Lagrange en présence de la force et des moments distribués externe. On obtient également la force et le moment que la surface exerce sur le bord. Bien qu’avantageux pour l’étude de matériaux élastiques, les méthodes variationnelles sont impuissantes dans la modélisation des phénomènes inélastiques, comme les mécanismes de dissipation rencontrés à un pore de la bicouche lipidique. Ainsi, afin de tenir compte des effets visqueux, les équations qui régissent sur le bord sont alternativement tirés de la force et du moment, et de plus, le déséquilibre de l’énergie libre est utilisé pour assurer la compatibilité thermodynamique des relations constitutives. L’application de la procédure Coleman--Noll conduit à des relations constitutives de la contribution élastique à la force et au moment interne, et une inégalité de dissipation réduite qui limite les contributions visqueuses