Nearest neighbour continuum percolation model with random number of connections

Percolation theory is the study of the behaviour of connected clusters in a randomgraph. Due not only to its contribution in the last ve decades to numerousother elds, most notably materials science, but also to its standing as an interestingtopic in theoretical probability in its own right, it continues to be a thriving areaof mathematics. In this thesis, we discuss one model under the percolation framework,where each point connects to a random number of neighbours, and ask theusual questions of existence and uniqueness of innite clusters. More specically, weconsider a Poisson process X in R^d with density 1. We connect each point in X toits B nearest neighbours, where B is a non-negative integer valued random variable.The parameter in the model is the distribution function of B. We introduce su-cient conditions for B such that for d large enough percolation occurs almost surely.Furthermore the innite cluster will almost surely be unique.La théorie de la percolation est l' étude du comportement de groupements reliésdans un graphe aléatoire. On peut attribuer son essor continu dans le monde desmathématiques non seulement à sa contribution des cinq dernieres decennies a denombreux domaines externes -notamment a la science des matériaux -mais égalementen tant que sujet d'inérêt de son propre chef. Dans cette thèse, nous discutons unmodèle dans le cadre de la percolation, où chaque point est connecté à un nombrealéatoire de voisins, et posons les questions habituelles de l'existence de l'unicité degroupes innis. Plus précusément, nous considerons un processus de Poisson X dansR^d avec densité 1. Nous connectons chaque point de X à ses B voisins immédiats, oùB est une variable aléatoire à valeur entiere et positive. Le paramètre dans le modèleest la fonction de répartition de B. Nous introduisons des conditions susantes surB tel que pour D une percolation assez importante survient presque sûrement. Enoutre, l'amas inni sera presque sûrement uniqu