A hybrid, explicit-implicit, second-order TVD method on adaptive unstructured grids for unsteady compressible flows

This work is devoted to the development of a hybrid, explicit-implicit, scheme for simulation of unsteady compressible flows with shock waves. The proposed scheme is of the second-order accuracy in space and time for both explicit and implicit modes, while satisfying the TVD (Total Variation Diminishing) property. The scheme is designed for simulation of the compressible flows with temporal stiffness. In this situation,the numerical time step of explicit schemes is severely limited by particular conditions in a relatively small part of the computational domain, while the rest of the domain admits much higher time steps. The hybrid scheme is designed to operate in its implicit mode in the small areas causing temporal stiffness, thus allowing to proceed with higher time steps and reduce the computational time. In this study, a new hybridization approach is suggested. On its basis, the hybrid scheme is first introduced for hyperbolic conservation laws in one dimension. In order to satisfy the TVD property and obtain monotone solutions in the presence ofdiscontinuities, TVD limiters are applied to both spatial and temporal reconstructions. The second-order accuracy in time for the implicit mode, which is the main distinction of the proposed hybrid scheme in comparison with the existing methods, is achieved through a reconstruction of the solution in time. To make the reconstruction TVD preserving, a novel time limiter is derived. The stability condition and the relation to the hybridization factor of the new scheme are obtained. Moreover, the relationship of the proposed scheme with another existing hybrid method is revealed and analyzed. A set of one-dimensional test problems is used to demonstrate the accuracy and efficiency of the new hybrid scheme as well as to show its advantagesin comparison with the existing hybrid schemes. For two-dimensional problems, the hybrid scheme is generalized for the Euler and Navier-Stokes equations on unstructured grids. Similar to one-dimensional problems, reconstructions in space and time are applied with the corresponding TVD limiters. The newly proposed time limiter of the hybrid scheme is further generalized for unstructured grids. The non-linear system of discretized equations is solved using the Lower-Upper-Symmetric-Gauss-Seidel (LU-SGS) approximate factorization method for unstructured grids. In order to eliminate the factorization and linearization errors, internal iterations are introduced at each time step. The lower and upper matrices in the LU-SGS scheme are formed via reordering of grid nodes at each time step. In addition, local transient grid adaptation is applied near solution peculiarities, such as shock waves and contact surfaces. Viscous terms of the Navier-Stokes equations are also approximated with the second order of accuracy both in space and time in both explicit and implicit modes. The new hybrid scheme is applied to a number of demonstrative problems chosen to represent typical classes of gasdynamic problems with specific source of stiffness. The numerical results demonstrate the ability of the proposed hybrid scheme to produce the same accuracy as the purely explicit scheme (the well-known MUSCLHancock scheme), while reducing the computational time.Résumé: Cette étude est consacrée au développement d'un nouveau schéma hybride, explicite-implicite, pour la simulation des écoulements compressibles instationnaires avec des ondes de choc. Le schéma proposé possède une précision du second ordre dans l'espace et dans le temps pour l'explicite et l'implicite, tout en satisfaisant la propriété TVD (Total Variation Diminishing). Le schéma est conçu pour la simulation des écoulements compressibles avec des contraintes complexes temporelles, pour lesquelles le pas de temps explicite global est sévèrement limité par les conditions particulières dans une partie relativement faible du domaine de calcul, tandis que le reste du domaine admet un pas de temps plus élevé. Le système hybride est conçu pour fonctionner en mode implicite dans les petites zones possédant les contraintes temporelles, permettant ainsi de posséder à des pas de temps plus élevés et de réduire le temps de calcul. Dans cette étude, une nouvelle approche hybride est proposée. Ce nouveau schéma hybride est d'abord introduit pour des équations hyperpoliques de conservation à une dimension. Afin de satisfaire la propriété de TVD et d'obtenir des solutions monotones malgrè la présence de discontinuités, les limiteurs TVD sont appliquées aux deux reconstructions, spatiales et temporelles. La précision du second ordre en temps pour la partie implicite, qui est la principale distinction du modèle hybride proposé par rapport aux autres méthodes existantes, est réalisée grâce à une reconstitution temporelle de la solution. Pour assurer la conservation de la reconstruction TVD, un nouvel limiteur temporel est dérivé. La condition de stabilité et le rapport explicit/implicite du nouveau système sont déterminés. Le schéma proposé est comparé et analysé à une méthode hybride existant. Un ensemble de cas-test unidimensionnels est utilisé pour démontrer la précision et l'efficacité du nouveau schéma hybride ainsi que de montrer ses avantages en comparaison aux systèmes hybrides existants. Pour les problèmes bi-dimensionnels, le système hybride est généralisée aux équations d'Euler et de Navier-Stokes sur des maillages non-structurés. Semblable aux problèmes unidimensionnels, les reconstructions spacial et temporel sont appliquées avec les limiteurs TVD correspondant. Le limiteur temporel proposée pour le schéma hybride est en outre généralisé pour des maillages non-structurés. Le système non-linéaire des équations discrétisées est résolu en utilisant la méthode Lower-Upper Symmetric-Gauss-Seidel (LU-SGS) pour des maillages non structurés. Afin d'éliminer les erreurs de factorisation et de linéarisation, des itérations internes sont effectuées à chaque pas de temps. Les matrices inférieure et supérieure dans le système LU-SGS sont formés par la réorganisation des noeuds de la grille à chaque pas de temps. Durant la phase transitoire, une adaptation locale du maillage est appliquée près de certaines particularités, telles que les ondes de choc et les surfaces de contact. Les termes visqueux des équations de Navier-Stokes sont également estimés au deuxième ordre dans l'espace et dans le temps pour les deux modes explicite et implicite. Le nouveau schéma hybride est appliqué à un certain nombre de problèmes classiques choisis pour représenter les classes typiques de problèmes de dynamique de gaz possédant de fortes zones de complexité. Les résultats numériques démontrent la capacité du système hybride développé à proposer la même précision que le schéma purement explicite (le schéma MUSCL Hancock), tout en réduisant le temps de calcul