One dimensional discrete Schrödinger operators

We consider the one dimensional discrete Schrödinger operator h = h_0 + V on the full line and half line, where h_0 is the discrete Laplacian and V is a real-valued potential. We explain the Spectral theorem for the operator and give explicit formulas of the Green's function and spectral measures in case of the Laplacian. We explore the rank one potentials and compute their scattering operator. We also explore periodic potentials on the full line. We introduce random Schrödinger operators, and reproduce the proof of the celebrated theorem of Pastur that the spectrum is almost surely the same set. To illustrate ergodic families of random operators, we study the Anderson model in one dimension.L'objet de la thèse est l'opérateur de Schrödinger discret h = h_0 + V en une dimension, sur la ligne et la demi-ligne, où h_0 est le Laplacien discret et V est un potential à valeurs réelles. Nous expliquons le théorème spectral pour cet opérateur et donnons des formules explicites dans le cas du Laplacien. Nous explorons les perturbations du premier ordre. Nous explorons aussi les potentiels périodiques sur la ligne. Après avoir introduit les opérateurs de Schrödinger aléatoirs, nous reproduisons le célèbre théorème de Pastur établissant l'existence d'un spectre identique presque partout. Afin d'illustrer les familles d'opérateurs de Schrödinger aléatoirs ergodiques, nous étudions le modèle d'Anderson