A priori estimates of the degenerate Monge-Ampère equation on compact Kähler manifolds

The regularity theory of the degenerate complex Monge-Ampère equation is studied. First, the equation is considered on a compact Kahler manifold without boundary. Accordingly, some background information on Kahler geometry is presented. Given a solution of the degenerate complex Monge-Ampère equation, it is shown that its oscillation and gradient can be bounded. The Laplacian of the solution is also estimated. There is a slight improvement from the literature on the conditions required in order to obtain the estimate on the Laplacian of the solution, however the estimates developed only hold in the case of manifolds with non-negative bisectional curvature. As an application, a Dirichlet problem in complex space is considered. The obtained estimates are used to show existence and uniqueness of pluri-subharmonic solutions to the degenerate complex Monge-Ampere equation in a domain in complex space.La question de la régularité des solutions de l'équation complexe Monge-Ampère dégénérée est étudiée. Premièrement, l'équation est considérée sur une variété compacte Kahler sans frontière. Une revue des concepts clés de la géométrie Kahler est présentée. Étant donné une solution de l'équation complexe Monge-Ampère dégénérée, il est démontré que la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure de la solution est sous contrôle, et ainsi pour le gradient de la solution. Le Laplacien de la solution est également bornée. Cette borne du Laplacien est une amélioration de ce qui a été établi dans la littérature jusqu'à présent, mais par contre, l'argument tient seulement sous la condition que la variété a une courbure non-négative. Les résultats sont appliqués à un problème de Dirichlet dans l'espace complexe. L'existence et l'unicité d'une solution pluri-subharmonique de l'équation complexe Monge-Ampère dégénérée dans un domaine contenu dans l'espace complexe est démontré