The rank of symmetric random matrices via a graph process

Random matrix theory comprises a broad range of topics and avenues of research, one of them being to understand the probability of singularity for discrete random matrices. This is a fundamental, basic question about discrete matrices. Although is been proven that for random symmetric Bernoulli matrices the probability of singularity decays at least polynomially in the size of the matrix, it is conjectured that the right order of decay is exponential. We are interested in the adjacency matrix Q of the Erdos-Réyni random graph and we study the statistics of the rank of Q as a means of understanding the probability of singularity of Q. We take a stochastic process perspective, looking at the family of matrices Q (parametrized by p) as an increasing family of random matrices. We then investigate the structure of Q at the moment that it becomes non-singular and prove that, similar to some monotone properties of random graphs, the property of being non-singular obeys a so-called 'hitting time theorem'. Broadly speaking, this means that all-zero rows, which are a 'local' property of the matrix, are the only obstruction for non-singularity. This fact, which is the main novel contribution to the thesis, extends previous work by Costello and Vu.La théorie des matrices aléatoires a un large éventail de sujets et de pistes de recherche, l'un d'entre eux étant de comprendre la probabilité de la singularité des matrices aléatoires discrètes. Ca a été prouvé que pour des matrices aléatoires de Bernoulli symétriques la probabilité de singularité a des bornes polynomiales, mais la conjecture est que le bon ordre de décroissance est exponentiel. Nous sommes intéressés par la matrice d'adjacence Q du graphe aléatoire d'Erdos et Réyni et nous étudions les statistiques du rang de Q comme un moyen de comprende la probabilité de singularité de Q. Nous proposons maintenant une perspective de processus stochastique. Dans ce mémoire, nous considérons la famille Q comme une famille croissante de matrices aléatoires et nous étudions la structure de Q au moment oú il devient non singulière et nous prouvons de la même facon pour certaines propriétés monotones des graphes aléatoires, la propriété d'être non singulière obéit à soi-disant 'théorème de temps d'arrêt'. D'une manière globale, cela signifie que les lignes remplies de zéros, qui sont une propriété locale de la matrice, sont la seule obstruction pour la non-singularité. Ce fait, qui est la nouvelle contribution principale de ce mémoire, élargie les résultats antérieurs de Costello et Vu