On the optimization of mixing in laminar regimes

In this thesis, we design and test several mixing optimization strategies with the scope of improving current, and designing novel, industrial mixing devices. As a case study, we use numerical simulation to characterize, redesign and optimize a prototypical mixing device, the sine flow, which stirs a mixture on a two-dimensional domain alternating orthogonal, piecewise-steady, nonlinear velocity fields. As a measure of the quality of mixing and as a cost function for the optimization strategies, we use the mix-norm, an average multi-scale measure of the scalar variance over different coarse graining of the mixing domain. First, we address the conceptual problem of designing a mixing device able to deliver an optimal and uniform mixing performance for different initial configurations of the mixture. We show that the performance of the sine flow is not optimal nor uniform, but it can be greatly improved by optimizing on-line its stirring protocol. We demonstrate that the simplest form of the protocol optimization is competitively effective with respect to more complex and computationally expensive optimizations. Second, we consider a more challenging problem, the problem of designing an optimal mixer, i.e. a mixing device whose performance is uniform with respect to a large set of initial and operating conditions. We show that the sine flow is far from being an optimal mixer, however, it is possible to obtain an optimal mixer by redesigning the actuating system of the sine flow and coupling the optimization of the stirring protocol with a simple optimization of the stirring velocity fields. Third, we consider the optimization of the profile of the stirring velocity fields. To this end, we introduce the Fourier sine flow, an extension of the sine flow that enables the generation of stirring velocity fields whose profiles are represented by a Fourier sine series. This novel mixing device allows us to optimize the velocity profiles by computing the amplitudes and phase shifts of the Fourier modes so that the synthesized stirring velocity field maximizes the mixing quality by the end of a stirring iteration. We demonstrate that this optimization produces realistic results only if the power input needed to generate the stirring flow is properly constrained. Subsequently, we characterize the cost-efficiency of the velocity profile optimization in terms of the total time, energy and computational cost needed to obtain a desired level of homogenization of the mixture and present some insightful and unexpected results. Our work puts in a realistic perspective the optimization of mixing in laminar regimes, providing guidance for the development and enhancement of industrial mixers.Le sujet de cette thèse concerne la mise en œuvre d'une analyse numérique visant à optimiser les techniques de mélange utilisées dans les applications industrielles. Dans cette recherche, nous simulons tout d'abord le mélange d'une quantité scalaire à partir d'un modèle classique d'écoulement fluide appelé "sine flow". Ensuite, nous présentons une amélioration de ce modèle et rapportons une analyse très complète de nos résultats. L'écoulement "sine flow" est non-linéaire, bidimensionnel et semi stationnaire car entre chaque intervalle de temps, l'orientation des champs de vitesse subit une rotation de 90 degrés. Nous appelons "protocole de mélange" le nombre et la durée des changements d'orientation des champs de vitesse au cours d'une même simulation. Nous montrons que l'optimisation du mélange des champs scalaires dépend directement du choix du protocole de mélange. Pour quantifier la qualité du mélange du scalaire nous utilisons un paramètre appelé "mix-norm" qui est la variance du scalaire mélangé calculée sur l'ensemble des échelles spatiales des champs scalaires. Dans cette thèse, nous rappelons tout d'abord les difficultés que peut induire la conception d'un mélangeur optimal. Un mélangeur optimal est capable de fournir un mélange homogène indépendamment de la distribution initiale des champs scalaire à mélanger. Nous démontrons que les performances du modèle "sine flow" ne sont ni optimales ni uniformes mais qu'elles peuvent être grandement améliorées en optimisant de façon dynamique le protocole de mélange. Cette optimisation est contrôlée en modulant un paramètre appelé "switching time horizon" qui, lorsque sa valeur est égale à 1 caractérise le plus simple protocole de mélange possible. Nous démontrons que celui-ci est particulièrement efficace en comparaison avec des protocoles plus complexes et plus couteux en termes de ressources informatiques. Dans un second temps, nous montrons que le modèle "sine flow" est très loin de simuler un mélangeur optimal. Toutefois, nous montrons qu'une extension du modèle "sine flow", que nous appelons modèle "Fourier sine flow", ore des possibilités importantes d'optimisation. En effet, ce nouveau modèle "Fourier sine flow" génère un champ de vitesse dont les profils sont représentés par une série de Fourier. Le calcul des amplitudes et des déphasages des modes de Fourier sont des paramètres modulables qui peuvent être utilisés pour maximiser la qualité du mélange. Finalement, nous démontrons que l'utilisation de ce nouveau modèle produit des résultats très réalistes lorsque la puissance énergétique nécessaire a la mise en mouvement de l'écoulement fluide est correctement quantifiée et contrainte lors de la simulation. Ainsi, nous mettons en évidence le rapport coût/efficacité de ce nouveau modèle et de sa capacité à optimiser un mélange en termes de temps total, d'énergie et de ressources informatiques nécessaires. Nous présentons et discutons des résultats les plus pertinents et parfois même inattendus. Ce travail ore une perspective réaliste pour l'optimisation d'un mélangeur utilisant les écoulements laminaires et il apporte une orientation possible au développement de nouveaux mélangeurs ou à l'optimisation des mélangeurs actuellement utilises dans l'industrie