On CAT(0) aspects of geometric group theory and some applications to geometric superrigidity

Since their popularization by Gromov in the eighties, CAT(0) metric spaces of bounded curvature as defined by Alexandrov have been the locus of great progress in infinite group theory. Surveying ideas and constructions of geometric group theory, we express a bias towards groups acting on structures of this kind. As such, swiftly acquainting the reader with the theory of CAT(0) spaces, we provide a variety of examples obtained by gluing together families of convex polyhedra along their isometric faces. In this context, Gromov's link condition provides a local-to-global framework for non-positive curvature. Combining this with tools from knot theory, such as the Dehn complex of an alternating knot projection, we demonstrate a result of Wise which states that the fundamental group of an alternating link complement is also the fundamental group of a non-positively curved complex. Using similar ideas, we also mention a construction of Wise relating any finitely generated group to the fundamental groups of some non-positively curved complexes. Besides providing such "explicit" constructions, we make use of tower lifts of combinatorial maps to prove Bridson and Haefliger's abstract result that every subgroup of the fundamental group of a non-positively curved two dimensional polyhedral complexes is the fundamental group of some compact non-positively curved two dimensional polyhedral complex. Then, having well established the inherent structure of CAT(0) spaces, we focus on classifying their isometries, group actions upon them, and how they extend to the visual boundary. The combinatorial approach is especially effective here when we prove Haglund's result that cell-preserving isometries of CAT(0) cube complexes are semi-simple.Finally, using the theory of generalized harmonic maps, we demonstrate the superrigidity result of Monod, Gelander, Karlsson and Margulis for reduced actions with no globally fixed point of irreducible uniform lattices in locally compact, compactly generated topological groups of higher rank on complete CAT(0) spaces.Depuis leur popularisation par Gromov durant les années quatre-vingt, la théorie des espaces métriques à courbure bornée, dits CAT(0), fut à la base de grandes percées dans notre compréhension des groupes infinis. Survolant des constructions de la théorie géométrique des groupes, nous portons donc une attention particulière aux actions sur les espaces CAT(0) et commençcons notre traité par la construction de complexes CAT(0) obtenus en identifiant certaines faces isométriques d'ensembles de polyèdres convexes. Dans ce contexte, le critère du lien de Gromov nous permet de caractériser la courbure nonpositive globale de manière locale. Combinant ces idées à certaines techniques de la théorie des noeuds, nous démontrons un théorème de Wise reliant tout groupe fondamental du complément d'un entrelac alternants à un complexe de courbure nonpositive. Nous relatons aussi une construction similaire de Wise permettant de relier tout groupe présenté de manière finie au groupe fondamental d'un complexe à courbure nonpositive. Outre ces constructions concrètes, nous utilisons les tours de relèvement d'applications combinatoires afin de démontrer un théorème abstrait de Bridson et Haefliger concernant les sous-groupes de groupes fondamentaux de complexes à courbure non-positive. Ayant établi la structure des espaces CAT(0), nous passons en second lieu à la classification de leurs isométries et de leurs extensions à la bordification de ces espaces. L'approche combinatoire est d'une aide particulière lorsque nous prouvons le résultat de Haglund concernant la semi-simplicité d'isométries de complexes cubiques et offre un contraste par rapport à un résultat analogue de Brisdon dans le contexte des complexes polyhédraux. Finalement, en faisant usage de la théorie des applications harmoniques généralisées, nous démontrons le résultat de superrigidité de Monod, Gelander, Karlsson et Margulis pour les actions réduites sans point fixe sur les espaces métriques CAT(0) complets de réseaux uniformes et irréductibles dans des groupes de rang supérieur localement compacts engendrés par un ensemble de générateurs compact