Lagrangian Lie subalgebroids of the canonical symplectic Lie algebroid

It is well-known that the Poisson reduction of a hamiltonian system on the cotangent bundle of a manifold produces a hamiltonian system on a linear Poisson manifold. On the other hand, linear Poisson structures on a vector bundle $A^*$ may be described in terms of the canonical symplectic section of ${\mathcal T}^AA^*$, the $A$-tangent bundle to $A^*$. In fact, ${\mathcal T}^AA^*$ is a canonical symplectic Lie algebroid over the linear Poisson manifold $A^*$. In this master thesis, we discuss Lagrangian Lie subalgebroids of ${\mathcal T}^AA^*$. The base space of a Lagrangian Lie subalgebroid $L$ turns out to be a coisotropic submanifold $C$ of $A^*$. Thus, first we describe the local nature of $C$ when it is an affine subbundle of $A^*$ and then we describe the local nature of $L$. We expect that these results may be applied, in a future work, in the geometric formulation of Hamilton-Jacobi theory for reduced hamiltonian systemsCon el desarrollo de este proyecto se pretende familiarizar al estudiante con la formulación geométrica de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden y, en particular, de la ecuación de Hamilton-Jacobi, en términos de subvariedades lagrangianas del fibrado cotangente. Asimismo, se pretende extender algunos aspectos de esta teoría para sistemas hamiltonianos sobre un algebroide de Lie A usando la sección simpléctica natural del prolongado de A por el fibrado dual A∗. Estos resultados serán probablemente de utilidad en el diseño de métodos numéricos eficientes para problemas de control óptimo y tenddrán interés para aplicaciones en ingeniería y robótica