Locally convex topologies on rings of continuous functions

Si esaminano quattro topologie convesse $\sigma,\tau,\beta,\delta$ sull'anello $C^{*}(X)$ delle funzioni reali continue e limitate definite su uno spazio $X$ completamente regolare. Nella $\sigma,C^{*}(X)$ ha come spazio duale quello delle misure con segno su $X$, mentre nelle $\sigma,\beta$ e $\delta$ i duali sono rispettivamente gli spazi delle misure di Baire non segno net-additive, compatte regolari e discrete. Vengono stabilite varie relazioni fra tali tipologie, e fra esse e la topologia di $X$. Fra l'altro, si prova che $\beta$ è completa se e solo se ogni funzione limitata continua che sia continua su ogni sottinsieme compatto di $X$ è continua in $X$; e che $\delta$ è completa se e solo se $X$ è discreto.In this paper, four locally convex topologies $\sigma,\tau,\beta$ and $\delta$, on $C^{*}(X)$, the ring of alla bonded continuous real functions on a completely regular space $X$ , are considered. Under $\sigma,C^{*}(X)$ has, as a dual space, the space of all signed Baire measures on $X$ , while the duals of $C_{F}(X)$ under $\tau,\beta$ and $\delta$ are the spaces of alla net-additive, all compact regular and all discrete signed Baire measures respectively. The bulk of the work establishes various relations among these topologies, and between them and the topology of the underlying space $X$. For instance, it is shown that $\beta$ is complete if every bounded function which is continuous on compact subsets of $X$ is continuous on $X$; and that $\delta$ is complete if $X$ is discrete